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Lösung 3.3:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Eine quadratische Gleichung wie diese löst man durch quadratische Ergänzung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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(z-2)^2-2^2+5&=0,\\[5pt]
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(z-2)^2+1&=0.
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\end{align}</math>}}
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Berechnen wir die Wurzel der rechten Seite, erhalten wir die Lösungen (Wurzeln) <math>z-2=\pm i</math>, also <math>z=2+i</math> und <math>z=2-i</math>.
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Wir können diese Lösungen in der Gleichung substituieren, um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben.
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<math>\begin{align}
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z=2+i:\qquad z^2-4z+5
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&= (2+i)^2-4(2+i)+5\\[5pt]
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&= 2^2+4i+i^2-8-4i+5\\[5pt]
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&= 4+4i-1-8-4i+5\\[5pt]
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&=0\\[10pt]
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z={}\rlap{2-i:}\phantom{2+i:}{}\qquad z^2-4z+5
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&= (2-i)^2-4(2-i)+5\\[5pt]
 +
&= 2^2-4i+i^2-8+4i+5\\[5pt]
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&= 4-4i-1-8+4i+5\\[5pt]
 +
&= 0
 +
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Eine quadratische Gleichung wie diese löst man durch quadratische Ergänzung

(z−2)2−22+5(z−2)2+1=0=0

Berechnen wir die Wurzel der rechten Seite, erhalten wir die Lösungen (Wurzeln) z−2=i, also z=2+i und z=2−i.

Wir können diese Lösungen in der Gleichung substituieren, um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben.

z=2+i:z2−4z+5z=2−i:z2−4z+5=(2+i)2−4(2+i)+5=22+4i+i2−8−4i+5=4+4i−1−8−4i+5=0=(2−i)2−4(2−i)+5=22−4i+i2−8+4i+5=4−4i−1−8+4i+5=0

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