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Lösung 3.3:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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(z+1)^2-1^2+3 &= 0\,,\\[5pt]
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(z+1)^2+2 &= 0\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Und die Wurzeln sind <math>z+1=\pm i\sqrt{2}</math>, also <math>z=-1+i\sqrt{2}</math> und <math>z=-1-i\sqrt{2}</math>.
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Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung und erhalten
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<math>\begin{align}
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z=-1+i\sqrt{2}:\quad z^2+2z+3
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&= \bigl(-1+i\sqrt{2}\,\bigr)^2 + 2\bigl(-1+i\sqrt{2}\bigr) + 3\\[5pt]
 +
&= (-1)^2 - 2\cdot i\sqrt{2} + i^2\bigl(\sqrt{2}\,\bigr)^2 - 2 + 2i\sqrt{2} + 3\\[5pt]
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&= 1-2\cdot i\sqrt{2}-2-2+2i\sqrt{2}+3\\[5pt]
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&= 0,\\[10pt]
 +
z={}\rlap{-1-i\sqrt{2}:}\phantom{-1+i\sqrt{2}:}{}\quad z^2+2z+3
 +
&= \bigl(-1-i\sqrt{2}\,\bigr)^2 + 2\bigl(-1-i\sqrt{2}\,\bigr) + 3\\[5pt]
 +
&= (-1)^2 + 2\cdot i\sqrt{2} + i^2\bigl(\sqrt{2}\,\bigr)^2 - 2 - 2i\sqrt{2} + 3\\[5pt]
 +
&= 1+2\cdot i\sqrt{2} - 2 - 2 - 2\sqrt{2}i + 3\\[5pt]
 +
&= 0\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir

(z+1)2−12+3(z+1)2+2=0=0.

Und die Wurzeln sind z+1=i2 , also z=−1+i2  und z=−1−i2 .

Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung und erhalten

z=−1+i2:z2+2z+3z=−1−i2:z2+2z+3=−1+i22+2−1+i2+3=(−1)2−2i2+i222−2+2i2+3=1−2i2−2−2+2i2+3=0=−1−i22+2−1−i2+3=(−1)2+2i2+i222−2−2i2+3=1+2i2−2−2−22i+3=0.

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