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Lösung 3.3:4d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (13:14, 3. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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Zeile 1: Zeile 1:
-
To avoid having
+
Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math>
-
<math>z</math>
+
-
in the denominator, we multiply both sides of the equation by
+
-
<math>z</math>:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>1+z^{2}=\frac{1}{2}z</math>
+
In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.
 +
Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung
-
This multiplication could possibly introduce a false root if it turns out that the new equation has
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>z=0\text{ }</math>
+
z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\\[5pt]
-
as a root. The old equation, for understandable reasons, have
+
\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\\[5pt]
-
<math>z=0\text{ }</math>
+
\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.}
-
as a solution.
+
\end{align}</math>}}
-
If we move the terms over to the left-hand side and complete the square, we get
+
Wir erhalten die Wurzeln
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> und <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
-
& z^{2}-\frac{1}{2}z+1=0 \\
+
-
& \left( z-\frac{1}{4} \right)^{2}-\left( \frac{1}{4} \right)^{2}+1=0 \\
+
-
& \left( z-\frac{1}{4} \right)^{2}+\frac{15}{16}=0 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
This gives that the equation has solutions
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>z=\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}</math>
+
-
and
+
-
<math>z=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
None of these solutions are equal to zero, so these are also solutions to the original equation.
+
-
 
+
-
We substitute the solutions into the original equations to assure ourselves that we have calculated correctly.
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& z=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{LHS}=\frac{1}{z}+z= \\
+
-
& =\frac{1}{\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{14}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
+
-
& =\frac{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\left( \frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)\left( \frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
+
-
& =\frac{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{16}+\frac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
+
-
& =\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{1}{2}=\text{RHS} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
 +
Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
& z=\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{LHS}=\frac{1}{z}+z= \\
+
z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{Linke Seite}
-
& =\frac{1}{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{14}}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
+
&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
-
& =\frac{\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\left( \frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)\left( \frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
+
&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
-
& =\frac{\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{16}+\frac{15}{16}}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
+
&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
-
& =\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{1}{2}=\text{RHS} \\
+
&= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\\[5pt]
 +
&= \text{Rechte Seite,}\\[10pt]
 +
z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{Linke Seite}
 +
&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
 +
&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
 +
&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\\[5pt]
 +
&= \text{Rechte Seite.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Um z im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit z

1+z2=21z.

In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn z=0 eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.

Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung

z2−21z+1z−412−412+1z−412+1615=0=0=0.

Wir erhalten die Wurzeln

z=41+i415  und z=41−i415. 

Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.

Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.

z=41−i415:Linke Seitez=41+i415:Linke Seite=141−i1415+41−i415=41+i41541−i41541+i415+41−i415=116+161541+i415+41−i415=41+i415+41−i415=21=Rechte Seite,=141+i1415+41+i415=41−i41541+i41541−i415+41+i415=116+161541−i415+41+i415=41−i415+41+i415=21=Rechte Seite.

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