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Lösung 3.3:4d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (13:14, 3. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 3 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
To avoid having <math>z</math> in the denominator, we multiply both sides of the equation by <math>z</math>,
+
Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}
-
This multiplication could possibly introduce a spurious root if it turns out that the new equation has <math>z=0</math> as a root. The old equation, for understandable reasons, doesn't have <math>z=0</math> as a solution.
+
In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.
-
If we move the terms over to the left-hand side and complete the square, we get
+
Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\,,\\[5pt]
+
z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\\[5pt]
-
\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\,,\\[5pt]
+
\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\\[5pt]
\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.}
\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
This gives that the equation has solutions
+
Wir erhalten die Wurzeln
-
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> and <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> und <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}
-
None of these solutions are equal to zero, so these are also solutions to the original equation.
+
Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
-
We substitute the solutions into the original equations to assure ourselves that we have calculated correctly.
+
Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{LHS}
+
z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{Linke Seite}
&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
Zeile 28: Zeile 28:
&= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
&= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
&= \frac{1}{2}\\[5pt]
&= \frac{1}{2}\\[5pt]
-
&= \text{RHS,}\\[10pt]
+
&= \text{Rechte Seite,}\\[10pt]
-
z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{LHS}
+
z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{Linke Seite}
&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
Zeile 35: Zeile 35:
&= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
&= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
&= \frac{1}{2}\\[5pt]
&= \frac{1}{2}\\[5pt]
-
&= \text{RHS.}
+
&= \text{Rechte Seite.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Um z im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit z

1+z2=21z.

In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn z=0 eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.

Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung

z2−21z+1z−412−412+1z−412+1615=0=0=0.

Wir erhalten die Wurzeln

z=41+i415  und z=41−i415. 

Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.

Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.

z=41−i415:Linke Seitez=41+i415:Linke Seite=141−i1415+41−i415=41+i41541−i41541+i415+41−i415=116+161541+i415+41−i415=41+i415+41−i415=21=Rechte Seite,=141+i1415+41+i415=41−i41541+i41541−i415+41+i415=116+161541−i415+41+i415=41−i415+41+i415=21=Rechte Seite.

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