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Lösung 3.3:4d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math>,
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Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}
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In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann die unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.
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In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.
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Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung,
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Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\,,\\[5pt]
+
z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\\[5pt]
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\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\,,\\[5pt]
+
\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\\[5pt]
\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.}
\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Wir erhalten die Wurzeln
Wir erhalten die Wurzeln
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> and <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> und <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}
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Nachdem keiner dieser Lösungen null ist, sind dies auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
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Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
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Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben.
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Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Um z im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit z

1+z2=21z.

In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn z=0 eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.

Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung

z2−21z+1z−412−412+1z−412+1615=0=0=0.

Wir erhalten die Wurzeln

z=41+i415  und z=41−i415. 

Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.

Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.

z=41−i415:Linke Seitez=41+i415:Linke Seite=141−i1415+41−i415=41+i41541−i41541+i415+41−i415=116+161541+i415+41−i415=41+i415+41−i415=21=Rechte Seite,=141+i1415+41+i415=41−i41541+i41541−i415+41+i415=116+161541−i415+41+i415=41−i415+41+i415=21=Rechte Seite.

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