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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math>
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-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}
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-	<center> [[Bild:3_3_4d-2(2).gif]] </center>	+	In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.
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		+	Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\\[5pt]
		+	\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\\[5pt]
		+	\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}
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		+	Wir erhalten die Wurzeln
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> und <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}
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		+	Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
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		+	Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.
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		+	<math>\begin{align}
		+	z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{Linke Seite}
		+	&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{2}\\[5pt]
		+	&= \text{Rechte Seite,}\\[10pt]
		+	z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{Linke Seite}
		+	&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{2}\\[5pt]
		+	&= \text{Rechte Seite.}
		+	\end{align}</math>

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Aktuelle Version

Um z im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit z

1+z2=21z.

In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn z=0 eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.

Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung

z2−21z+1z−412−412+1z−412+1615=0=0=0.

Wir erhalten die Wurzeln

z=41+i415  und z=41−i415.

Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.

Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.

z=41−i415:Linke Seitez=41+i415:Linke Seite=141−i1415+41−i415=41+i41541−i41541+i415+41−i415=116+161541+i415+41−i415=41+i415+41−i415=21=Rechte Seite,=141+i1415+41+i415=41−i41541+i41541−i415+41+i415=116+161541−i415+41+i415=41−i415+41+i415=21=Rechte Seite.