Processing Math: Done
Lösung 3.3:5b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | {{ | + | Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir |
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| - | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} |
| + | \Bigl(z-\frac{2-i}{2}\Bigr)^2-\Bigl(\frac{2-i}{2}\Bigr)^2+3-i &= 0\\[5pt] | ||
| + | \Bigl(z-\frac{2-i}{2}\Bigr)^2-\Bigl(1-i+\frac{1}{4}i^2\Bigr)+3-i&=0\\[5pt] | ||
| + | \Bigl(z-\frac{2-i}{2}\Bigr)^2-1+i+\frac{1}{4}+3-i&=0\\[5pt] | ||
| + | \Bigl(z-\frac{2-i}{2}\Bigr)^2+\frac{9}{4}&=0\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
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| + | Die Wurzeln sind | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>z-\frac{2-i}{2} = \pm\frac{3}{2}\,i\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align} | ||
| + | &1+i\,,\\ | ||
| + | &1-2i\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}\right.</math>}} | ||
| + | |||
| + | Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung | ||
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| + | <math>\begin{align} | ||
| + | z={}\rlap{1+i:}\phantom{1-2i:}{}\quad z^2-(2-i)z+(3-i) | ||
| + | &= (1+i)^2-(2-i)(1+i)+3-i\\[5pt] | ||
| + | &= 1+2i+i^2-(2+2i-i-i^2)+3-i\\[5pt] | ||
| + | &= 1+2i-1-2-i-1+3-i\\[5pt] | ||
| + | &=0\,,\\[10pt] | ||
| + | z=1-2i:\quad z^2-(2-i)z+(3-i) | ||
| + | &= (1-2i)^2-(2-i)(1-2i)+3-i\\[5pt] | ||
| + | &= 1-4i+4i^2-(2-4i-i+2i^2)+3-i\\[5pt] | ||
| + | &= 1-4i-4-2+5i+2+3-i\\[5pt] | ||
| + | &= 0\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math> | ||
Aktuelle Version
Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir
 z−22−i 2−22−i2+3−iz−22−i2−1−i+41i2+3−iz−22−i2−1+i+41+3−iz−22−i2+49=0=0=0=0. |
Die Wurzeln sind
 23i z= 1+i 1−2i. |
Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung
=(1−2i)2−(2−i)(1−2i)+3−i=1−4i+4i2−(2−4i−i+2i2)+3−i=1−4i−4−2+5i+2+3−i=0.
