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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	If the equation has the root <math>z=1</math>, this means, according to the factor rule, that the equation must contain the factor <math>z-1</math>, i.e. the polynomial on the left-hand side can be written as	+	Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) <math>z=1</math> hat, ist <math>z-1</math> ein Faktor im Polynom, daher ist
-	{{Displayed math||<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math> ,}}
-	for some constants <math>A</math> and <math>B</math>. We can determine the second unknown factor using polynomial division,	+	wobei <math>A</math> und <math>B</math> Konstanten sind. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen
-	{{Displayed math||<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	z^2+Az+B		z^2+Az+B
	&= \frac{z^3-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]		&= \frac{z^3-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	Thus, the equation can be written as	+	Daher ist unsere Gleichung
-	{{Displayed math||<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	The advantage of writing the equation in this factorized form is that we can now conclude that the equation's two other roots must be zeros of the factor	+	Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von
-	<math>z^2-2z+2</math>. This is because the left-hand side is zero only when at least one of the factors <math>z-1</math> or <math>z^2-2z+2</math> is zero, and we see directly that <math>z-1</math> is zero only when <math>z=1\,</math>.	+	<math>z^2-2z+2</math> sein. Das ist so, da die linke Seite nur dann null ist, wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt, dass <math>z-1</math> nur null ist, wenn <math>z=1\,</math>.
-	Hence, we determine the roots by solving the equation	+	Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung
-	{{Displayed math||<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-2z+2 = 0</math>}}
-	Completing the square gives	+	durch quadratische Ergänzung lösen
-	{{Displayed math||<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt]		(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt]
-	(z-1)^2 &= -1\,,	+	(z-1)^2 &= -1
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	and taking the root gives that <math>z-1=\pm i</math>, i.e. <math>z=1-i</math> and	+	und wir erhalten <math>z-1=\pm i</math>, also <math>z=1-i</math> und
	<math>z=1+i\,</math>.		<math>z=1+i\,</math>.
-	The equation's other roots are <math>z=1-i</math> and <math>z=1+i\,</math>.	+	Die anderen Wurzeln sind also <math>z=1-i</math> und <math>z=1+i\,</math>.
-	As an extra check, we investigate whether <math>z = 1 \pm i</math> really are roots of the equation.	+	Wir kontrollieren, ob <math>z = 1 \pm i</math> Wurzeln der Gleichung sind
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
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	&= 0\,\textrm{.}		&= 0\,\textrm{.}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
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-	Note: Writing
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-	{{Displayed math||<math>z^3-3z^2+4z-2 = \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2</math>}}
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-	is known as the Horner scheme and is used to reduce the amount of the arithmetical work.

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Aktuelle Version

Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) z=1 hat, ist z−1 ein Faktor im Polynom, daher ist

z3−3z2+4z−2=(z2+Az+B)(z−1) ,

wobei A und B Konstanten sind. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen

z2+Az+B=z−1z3−3z2+4z−2=z−1z3−z2+z2−3z2+4z−2=z−1z2(z−1)−2z2+4z−2=z2+z−1−2z2+4z−2=z2+z−1−2z2+2z−2z+4z−2=z2+z−1−2z(z−1)+2z−2=z2−2z+z−12z−2=z2−2z+z−12(z−1)=z2−2z+2.

Daher ist unsere Gleichung

(z−1)(z2−2z+2)=0.

Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von z2−2z+2 sein. Das ist so, da die linke Seite nur dann null ist, wenn z−1 oder wenn z2−2z+2 null ist. Wir sehen direkt, dass z−1 nur null ist, wenn z=1.

Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung

z2−2z+2=0

durch quadratische Ergänzung lösen

(z−1)2−12+2(z−1)2=0=−1

und wir erhalten z−1=i, also z=1−i und \displaystyle z=1+i\,.

Die anderen Wurzeln sind also \displaystyle z=1-i und \displaystyle z=1+i\,.

Wir kontrollieren, ob \displaystyle z = 1 \pm i Wurzeln der Gleichung sind

\displaystyle \begin{align} z = 1+i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1+i-3)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2+i)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= (-2+i-2i-1+4)(1+i)-2\\[5pt] &= (1-i)(1+i)-2\\[5pt] &= 1^2 - i^2 - 2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z = 1-i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1-i-3)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2-i)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= (-2-i+2i-1+4)(1-i)-2\\[5pt] &= (1+i)(1-i)-2\\[5pt] &= 1^2-i^2-2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}