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jsMath

Lösung 3.4:1e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
Imagine for a moment taking away all the terms in the numerator apart from
+
Um einen Ausdruck im Zähler zu erhalten, der durch
-
<math>x^{3}</math>. If we are to make
+
<math>x^2+3x+1</math> teilbar ist, müssen wir den Ausdruck <math>3x^2+x</math> addieren und subtrahieren, sodass wir <math>x^3+3x^2+x=x(x^2+3x+1)</math> im Zähler erhalten
-
<math>x^{3}</math>
+
-
divisible by the denominator
+
-
<math>x^{2}+3x+1</math>, we need to add and subtract
+
-
<math>3x^{2}+x</math>
+
-
in order to obtain the expression
+
-
<math>x^{3}+3x^{2}+x=x\left( x^{2}+3x+1 \right)</math>,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1}
 +
&= \frac{x^3\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{{}+3x^2+x-3x^2-x}+2x^2+1}{x^2+3x+1}\\[5pt]
 +
&= \frac{x^3+3x^2+x}{x^2+3x+1} + \frac{-3x^2-x+2x^2+1}{x^2+3x+1}\\[5pt]
 +
&= \frac{x(x^2+3x+1)}{x^2+3x+1} + \frac{-x^2-x+1}{x^2+3x+1}\\[5pt]
 +
&= x+\frac{-x^2-x+1}{x^2+3x+1}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Jetzt machen wir das genauso mit dem neuen Bruch, wir addieren und subtrahieren <math>-3x-1</math> zu/von <math>-x^2</math> und erhalten
-
& \frac{x^{3}+2x^{2}+1}{x^{2}+3x+1}=\frac{x^{3}+\underline{3x^{2}+x-3x^{2}-x}+2x^{2}+1}{x^{2}+3x+1} \\
+
-
& =\frac{x^{3}+3x^{2}+x}{x^{2}+3x+1}+\frac{-3x^{2}-x+2x^{2}+1}{x^{2}+3x+1} \\
+
-
& =\frac{x\left( x^{2}+3x+1 \right)}{x^{2}+3x+1}+\frac{-x^{2}-x+1}{x^{2}+3x+1} \\
+
-
& =x+\frac{-x^{2}-x+1}{x^{2}+3x+1} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
Now, we carry out the same procedure with the new quotient. To the term
+
x + \frac{-x^2-x+1}{x^2+3x+1}
-
<math>-x^{2}</math>, we add and subtract
+
&= x + \frac{-x^2\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{{}-3x-1+3x+1}-x+1}{x^2+3x+1}\\[5pt]
-
<math>-\text{3}x-\text{1}</math>
+
&= x + \frac{-x^2-3x-1}{x^2+3x+1} + \frac{3x+1-x+1}{x^2+3x+1}\\[5pt]
-
and obtain
+
&= x - 1 + \frac{2x+2}{x^2+3x+1}\,\textrm{.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& x+\frac{-x^{2}-x+1}{x^{2}+3x+1}=x+\frac{-x^{2}\underline{-3x-1+3x+1}-x+1}{x^{2}+3x+1} \\
+
-
& =x+\frac{-x^{2}-3x-1}{x^{2}+3x+1}+\frac{3x+1-x+1}{x^{2}+3x+1} \\
+
-
& =x-1+\frac{2x+2}{x^{2}+3x+1} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Um einen Ausdruck im Zähler zu erhalten, der durch x2+3x+1 teilbar ist, müssen wir den Ausdruck 3x2+x addieren und subtrahieren, sodass wir x3+3x2+x=x(x2+3x+1) im Zähler erhalten

\displaystyle \begin{align} \frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1} &= \frac{x^3\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{{}+3x^2+x-3x^2-x}+2x^2+1}{x^2+3x+1}\\[5pt] &= \frac{x^3+3x^2+x}{x^2+3x+1} + \frac{-3x^2-x+2x^2+1}{x^2+3x+1}\\[5pt] &= \frac{x(x^2+3x+1)}{x^2+3x+1} + \frac{-x^2-x+1}{x^2+3x+1}\\[5pt] &= x+\frac{-x^2-x+1}{x^2+3x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt machen wir das genauso mit dem neuen Bruch, wir addieren und subtrahieren \displaystyle -3x-1 zu/von \displaystyle -x^2 und erhalten

\displaystyle \begin{align}

x + \frac{-x^2-x+1}{x^2+3x+1} &= x + \frac{-x^2\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{{}-3x-1+3x+1}-x+1}{x^2+3x+1}\\[5pt] &= x + \frac{-x^2-3x-1}{x^2+3x+1} + \frac{3x+1-x+1}{x^2+3x+1}\\[5pt] &= x - 1 + \frac{2x+2}{x^2+3x+1}\,\textrm{.} \end{align}

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