Lösung 1.3:3a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
| Zeile 90: | Zeile 90: | ||
|} | |} | ||
| - | Hier sehen wir, dass <math>x=0</math> ein lokales | + | Hier sehen wir, dass <math>x=0</math> ein lokales Maximum ist, und dass <math>x=3</math> ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt). |
Version vom 08:52, 5. Sep. 2009
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
- stationäre Punkte mit
f ,
(x)=0 - singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
- Endpunkte.
Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
Die stationären Punkte erhalten wir mit den Nullstellen der Ableitung.
(x)=−4x3+8 3x2−182x=−4x3+24x2−36x=−4x(x2−6x+9) |
Im letzten Schritt sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist.
Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung
und erhalten
 |
Diese Gleichung hat die Wurzel
Also hat Ableitung die Nullstellen
Nachdem die Ableitung
| (x)=−4x(x−3)2 |
ist, machen wir eine Vorzeichentabelle mit den einzelnen Faktoren
| | | | |||
| | | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle - |
| \displaystyle (x-3)^2 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle + |
Mit den Rechenregeln \displaystyle {+}\cdot {+}={+}, \displaystyle {-}\cdot {+} = {-} und \displaystyle {-}\cdot {-}={+} für die Vorzeichen, erhalten wir folgende Vorzeichentabelle für die Ableitung:
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle 3 | |||
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle - |
| \displaystyle f(x) | \displaystyle \nearrow | \displaystyle 0 | \displaystyle \searrow | \displaystyle -27 | \displaystyle \searrow |
Hier sehen wir, dass \displaystyle x=0 ein lokales Maximum ist, und dass \displaystyle x=3 ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt).
