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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt <math>(x_0,y_0)</math> berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also
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-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung <math>y^{\,\prime} = -2x</math> an der Stelle <math>x=x_0</math>.
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		+	Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt
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		+	Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt
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		+	Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.
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		+	Da wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> suchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m''.
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		+	Aus der Gleichung (2) folgt, dass <math>k = -2 x_0</math>. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
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		+	Jetzt haben wir ''k'' und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math>-
		+	und <math>y_0</math>-Terme.
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}</math>|(3')}}
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		+	Diese Gleichung und die Gleichung (1) bilden ein Gleichungssystem für <math>x_0</math> und <math>y_0</math>.
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
		+	y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]
		+	y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}
		+	\end{align}\right.</math>}}
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		+	Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>.
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
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		+	also
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}
		+
		+	Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
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		+	Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
		+
		+	Also erhalten wir die Punkte <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> und
		+	<math>(1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,</math>.
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		+	[[Image:1_1_5_3.gif|center]]

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Aktuelle Version

Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt (x0y0) berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also

y0=−x20.

(1)

Schreiben wir die Tangente als y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung y=−2x an der Stelle x=x0.

k=−2x0

(2)

Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (x0y0) geht, gibt

y0=kx0+m.

(3)

Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

1=k1+m.

(4)

Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten x0, y0, k und m.

Da wir x0 und y0 suchen, eliminieren wir zuerst k und m.

Aus der Gleichung (2) folgt, dass k=−2x0. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert

1=−2x0+mm=2x0+1.

Jetzt haben wir k und m in Termen von x0 und y0 ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur x0- und y0-Terme.

y0=−2x20+2x0+1

(3')

Diese Gleichung und die Gleichung (1) bilden ein Gleichungssystem für x0 und y0.

y0y0=−x20=−2x20+2x0+1

Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur x0.

−x20=−2x20+2x0+1

also

x20−2x0−1=0.

Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

x0=1−2undx0=1+2.

Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert

y0=−3+22undy0=−3−22.

Also erhalten wir die Punkte (1−2−3+22)  und (1+2−3−22) .