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Lösung 1.3:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir benennen die ''x''-Koordinate des Punktes <math>P</math> <math>x</math>. Die ''y''Koordinate ist dann <math>1-x^{2}</math>, nachdem <math>P</math> auf der Kurve <math>y=1-x^{2}</math> liegt.
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Wir nennen die ''x''-Koordinate des Punktes <math>P</math> <math>x</math>. Die ''y''-Koordinate ist dann <math>1-x^{2}</math>, da <math>P</math> auf der Kurve <math>y=1-x^{2}</math> liegt.
[[Image:1_3_4-1-1.gif|center]]
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Die Fläche des Rechteckes ist
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Die Fläche des Rechtecks ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)\,.</math>}}
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Wir wollen diese Fläche in Bezug auf ''x'' maximieren.
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Wir wollen diese Fläche maximieren.
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Wir sehen von der Figur her dass <math>P</math> in der ersten Quadrante liegen muss, <math>x\ge 0</math>, und also <math>y=1-x^2\ge 0</math>, und wir erhalten dass <math>x\le 1</math>. Also suchen wir das Maxima von<math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.
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Wir sehen, dass <math>P</math> im ersten Quadranten liegen muss. Also <math>x\ge 0</math> und <math>y=1-x^2\ge 0</math>. Wir wissen nun, dass <math>x\le 1</math> ist. Also suchen wir das Maximum von <math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.
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Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:
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Lokale Extremstelle der Fläche sind entweder:
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# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
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# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# Endpunkte.
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# Randstellen.
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Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, so der wir müssen den 2:en Fall nicht beachten. Die Endpunkte <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima, siehe Figur).
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Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Randstellen <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extremstellen sein (offenbar lokale Minima).
Die Ableitung der Funktion ist
Die Ableitung der Funktion ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,</math>}}
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und wir erhalten die Gleichung <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math> für die stationären Punkte. Nur die Lösung <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> erfüllt aber <math>0\le x\le 1</math>.
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und wir erhalten die Gleichung <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math> für die stationären Stellen. <br> Nur die Lösung <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> erfüllt aber <math>0\le x\le 1</math>.
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Die zweite Ableitung <math>A''(x)=-6x</math> hat im stationären Punkt den Wert
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Die zweite Ableitung <math>A''(x)=-6x</math> hat in der stationären Stelle den Wert
{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}
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und also ist <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maxima.
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also hat die Flächenfunktion an der Stelle <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.
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Also ist der optimale Punkt <math>P</math>:
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Also ist der optimale Punkt <math>P</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir nennen die x-Koordinate des Punktes P x. Die y-Koordinate ist dann 1−x2, da P auf der Kurve y=1−x2 liegt.

Die Fläche des Rechtecks ist

A(x)=(Basis)(Höhe)=x(1−x2)

Wir wollen diese Fläche maximieren.

Wir sehen, dass P im ersten Quadranten liegen muss. Also x0 und y=1−x20. Wir wissen nun, dass x1 ist. Also suchen wir das Maximum von A(x) im Bereich 0x1.


Lokale Extremstelle der Fläche sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit f(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Randstellen.

Die Funktion A(x)=x(1−x2) ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Randstellen A(0)=A(1)=0 können aber lokale Extremstellen sein (offenbar lokale Minima).

Die Ableitung der Funktion ist

A(x)=1(1−x2)+x(−2x)=1−3x2

und wir erhalten die Gleichung x=13  für die stationären Stellen.
Nur die Lösung x=13  erfüllt aber 0x1.

Die zweite Ableitung A(x)=−6x hat in der stationären Stelle den Wert

A13=−6130 

also hat die Flächenfunktion an der Stelle x=13  ein lokales Maximum.

Also ist der optimale Punkt P

P=131−132=1332. 
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