3.3:2c alternativ exp

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir stellen −1−i exponential dar:

−1−i=r(cos+isin)=rei

wobei r = Betrag und = Argument sind.

r=−1−i=(−1)2+(−1)2=2

Dann klammern wir r=2  aus:

−1−i=2(−22−22i)

Gesucht werden alle Winkel , für die gilt:

cos=2−2  und sin=2−2

Diese Winkel sind

=4++2n=45+2n

mit nZ.

Also

z5=−1−i=2ei(45+2n)

Wir ziehen die 5. Wurzel, um z aus z5 zu erhalten:

z=52ei(45+2n)=22151ei51(45+2n)=2110ei(4+52n)

Die Gleichung z5=−1−i hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:

1. \displaystyle n=0 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}} \, e^{i \frac{1}{4} \pi} (falls es schlecht zu lesen ist: 2 hoch \displaystyle \frac{1}{10} mal e hoch \displaystyle i \frac{1}{4} \pi )

2. \displaystyle n=1 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{13}{20} \pi}

3. \displaystyle n=2 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{21}{20} \pi}

4. \displaystyle n=3 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{29}{20} \pi}

5. \displaystyle n=4 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}

Die nächste Lösung für \displaystyle n=5 ist wegen der 2-\displaystyle \pi Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit \displaystyle n=0 .