Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

Lösung 1.2:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K
Aktuelle Version (15:19, 1. Okt. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 4 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
To start with, we determine the first derivative and begin by using the product rule,
+
Wir berechnen zuerst die erste Ableitung mit der Faktorregel
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr]
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr]
&= (x)'\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\\[5pt]
&= (x)'\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\\[5pt]
Zeile 7: Zeile 7:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
We divide up the differentiation of the second term in sections and use the chain rule,
+
Wir leiten den zweiten Term, Term für Term mit der Kettenregel ab
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
(\sin\ln x + \cos\ln x)'
+
(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))'
-
&= (\sin\ln x)' + (\cos\ln x)'\\[5pt]
+
&= (\sin(\ln x))' + (\cos(\ln x))'\\[5pt]
-
&= \cos\ln x\cdot (\ln x)' - \sin\ln x\cdot (\ln x)'\\[5pt]
+
&= \cos(\ln x)\cdot (\ln x)' - \sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt]
-
&= \cos\ln x\cdot\frac{1}{x} - \sin\ln x\cdot\frac{1}{x}\,\textrm{.}
+
&= \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
This means that
+
Also haben wir
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr]
+
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))\bigr]
-
&= \sin \ln x + \cos \ln x + \cos \ln x - \sin \ln x\\[5pt]
+
&= \sin (\ln x) + \cos (\ln x) + \cos (\ln x) - \sin (\ln x)\\[5pt]
-
&= 2\cos \ln x\,\textrm{.}
+
&= 2\cos (\ln x)\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The second derivative is
+
Die zweite Ableitung ist
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\frac{d}{dx}\,2\cos\ln x
+
\frac{d}{dx}\,2\cos(\ln x)
-
&= -2\sin\ln x\cdot (\ln x)'\\[5pt]
+
&= -2\sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt]
-
&= -2\sin\ln x\cdot \frac{1}{x}\\[5pt]
+
&= -2\sin(\ln x)\cdot \frac{1}{x}\\[5pt]
-
&= -\frac{2\sin\ln x}{x}\,\textrm{.}
+
&= -\frac{2\sin(\ln x)}{x}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir berechnen zuerst die erste Ableitung mit der Faktorregel

ddxx(sinlnx+coslnx)=(x)(sinlnx+coslnx)+x(sinlnx+coslnx)=1(sinlnx+coslnx)+x(sinlnx+coslnx).

Wir leiten den zweiten Term, Term für Term mit der Kettenregel ab

(sin(lnx)+cos(lnx))=(sin(lnx))+(cos(lnx))=cos(lnx)(lnx)−sin(lnx)(lnx)=cos(lnx)x1−sin(lnx)x1.

Also haben wir

ddxx(sin(lnx)+cos(lnx))=sin(lnx)+cos(lnx)+cos(lnx)−sin(lnx)=2cos(lnx).

Die zweite Ableitung ist

ddx2cos(lnx)=−2sin(lnx)(lnx)=−2sin(lnx)x1=−x2sin(lnx).
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.2:4b“