2.1 Einführung zur Integralrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 15:31, 1. Okt. 2009

A - Die Fläche unter einer Kurve

Wir haben im vorigen Abschnitt die Ableitung von Funktionen studiert und viele interessante Eigenschaften der Ableitung gefunden. In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass die Fläche zwischen der x-Achse und dem Schaubild einer Funktion viele wichtige Eigenschaften und Anwendungen hat.

Wenn wir zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Objektes in einen v-t-Graph einzeichnen, können wir die drei unten dargestellten Fälle erhalten:

Die vom Objekt zurückgelegte Strecke ist in den drei Fällen:

s(6)=56=30ms(6)=43+63=30ms(6)=266=18m.

In allen drei Fällen sehen wir, dass die zurückgelegte Strecke der Fläche unter dem Graph der Funktion entspricht.

Hier werden noch einige Beispiele gezeigt, was die Fläche unter einem Graph bedeuten kann.

B - Die Bezeichnung des Integrals

Um die Fläche unter einer Kurve zu beschreiben, verwendet man das Integralzeichen .

Das Integral einer positiven Funktion f(x) von a bis b ist dasselbe wie die Fläche zwischen der Kurve y=f(x) und der x-Achse und zwischen zwei Vertikalen den Geraden x=a und x=b, und wird wie folgt geschrieben:

abf(x)dx.

Die Zahlen a und b nennt man Integrationsgrenzen. Die Funktion f(x) nennt man Integrand und x nennt man die Integrationsvariable.

Beispiel 2

Die Fläche unter der Kurve y=f(x) von x=a bis x=c ist gleich groß wie die Fläche von x=a bis x=b plus die Fläche von x=b bis x=c. Dies bedeutet, dass abf(x)dx+bcf(x)dx=acf(x)dx.

Beispiel 3

Wenn für einen Gegenstand die Geschwindigkeit v(t) auf der rechten Seite des Graphen liegt, hat er nach der Zeit 10 s die Strecke zurück gelegt, die gleich ist zu der Fläche unter dem Graphen, also das Integral des Graphen. s(10)=010v(t)dt.  Hinweis: Wir nehmen hier an, dass Geschwindigkeit und Strecke mit derselben Längeneinheit gemessen werden.

Beispiel 4

Wasser fließt in einen Tank mit der Geschwindigkeit f(t) Liter/s zur Zeit t. Das Integral

910f(t)dt

beschreibt, wie viel Wasser während der zehnten Sekunde in den Tank fließt.

C - Stammfunktionen und unbestimmte Integrale

Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f falls F(x)=f(x) in einen bestimmten Intervall. Falls F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, ist es leicht zu sehen, dass auch F(x)+C eine Stammfunktion ist für eine beliebige Konstante C. Man kann auch zeigen, dass die Funktion F(x)+C alle möglichen Stammfunktionen von f(x) bezeichnet. Dieser Ausdruck wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und man schreibt

f(x)dx.

D - Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen

Wir wissen bereits, dass die Fläche unter einer Funktion dem Integral der Funktion entspricht.

Wir nehmen an, dass f stetig in einem Intervall ist. Der Wert des Integrals  abf(x)dx   hängt dann von den Integrationsgrenzen a und b ab. Lassen wir aber die obere Grenze frei sein, sodass sie x statt b ist, wird das Integral eine Funktion von x sein. Um dies deutlicher zu machen verwenden wir die Integrationsvariable t statt x:

A(x)=axf(t)dt.

Wir werden jetzt zeigen, dass A die Stammfunktion von f ist.

Die gesamte Fläche under der Kurve von t=a bis t=x+h ist A(x+h) und ist ungefähr A(x) plus die Fläche des Rechtecks zwischen t=x und t=x+h, also

A(x+h)A(x)+hf(c)

wo c eine Zahl zwischen x und x+h ist. Wir können den Ausdruck als

schreiben. Lassen wir h0, bekommen wir auf der linken Seite A(x), und die rechte Seite wird f(x) und daher ist

A(x)=f(x).

Also ist die Funktion A(x) eine Stammfunktion von f(x).

E - Integrale berechnen

Wir wollen mit Hilfe der Stammfunktionen das Integral berechnen. Wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann

abf(t)dt=F(b)+C

Wenn b=a ist, ist die linke Seite null (Die Fläche unter dem Graphen der Funktion zwischen a und a). Darum muss die Konstante C so gewählt werden muss, dass für b=a die rechte Seite ebenfalls null ist. Also ergibt

aaf(t)dt=F(a)+C=0

dass C=−F(a) sein muss. Wenn wir zusammenfassen, ergibt sich, dass

abf(t)dt=F(b)−F(a).

Wir können natürlich hier die Integrationsvariable x wählen und erhalten dann

abf(x)dx=F(b)−F(a).

Die Berechnung von Integralen erfolgt in zwei Schritten. Zuerst berechnet man die Stammfunktion und dann berechnet man den Wert der Stammfunktion in den Integrationsgrenzen. Man schreibt gewöhnlich

abf(x)dx=F(x)ba=F(b)−F(a).

Beispiel 7

Die Fläche zwischen dem Schaubild der Funktion y=2x−x2 und der x-Achse kann durch den Integral

02(2x−x2)dx  berechnet werden. Nachdem x2−x33 die Stammfunktion des Integranden ist, ist der Integral 02(2x−x2)dx=x2−31x320=22−3123−02−3103=4−38=34. Die Fläche ist also 34

Hinweis: Das Integral hat keine Einheit, aber die Fläche kann eine Einheit haben.

F - Stammfunktionen

Um häufige Funktionen abzuleiten, gibt es generelle Ableitungsregeln. Die umgekehrte Rechenoperation durchzuführen ist aber viel komplizierter, nachdem es keine generellen Regeln für die Stammfunktionen gibt. In manchen Fällen kann man aber die Stammfunktionen bestimmen, indem man die Ableitung rückwärts ausführt: d.h. man sucht eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist.

Mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln erhalten wir folgende Stammfunktionen

Integral und Stammfunktion	Begründung (durch Ableitung)
xndx=xn+1n+1+Cfür  n=−1	ddxxn+1n+1+C=xn
x−1dx=lnx+C	lnx+C=1x sgn (x)=x1  für x=0
exdx=ex+C	Dex+C=ex
cosxdx=sinx+C	ddxsinx+C=cosx
sinxdx=−cosx+C	−cosx+C=sinx

G - Für die innere Ableitung kompensieren

Wenn man eine verkettete Funktion ableitet, benutzt man die Kettenregel. Dies bedeutet, dass man die äußere Ableitung der Funktion mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert. Falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist, ist die innere Ableitung eine Konstante. Wenn wir die Ableitung einer solchen Funktion integrieren möchten, können wir einfach die Stammfunktion durch die innere Ableitung dividieren, um die innere Ableitung zu kompensieren.

Diese Methode funktioniert also nur dann, wenn die innere Ableitung eine Konstante ist.

H - Integrationsregeln

Durch die Definition des Integrals, kann man einfach zeigen, dass:

1. baf(x)dx=−abf(x)dx, 
Beim Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert das Integral das Vorzeichen.

2. abf(x)dx+abg(x)dx=ab(f(x)+g(x))dx, 
Die Summe der Integrale (mit denselben Integrationsgrenzen) ist das Integral über die Summe der Integranden.

3. abkf(x)dx=kabf(x)dx, 
Das Integral über ein Vielfaches des Integranden ist das Vielfache des Integrals über den einfachen Integranden.

4. abf(x)dx+bcf(x)dx=acf(x)dx. 
Die Summe der Integrale mit demselben Integranden über direkt nebeneinander liegende Intervalle ist gleich dem Integral über das Gesamtinterval.

Außerdem haben Integrale, wo die Funktion negativ ist, ein negatives Vorzeichen, sind aber ansonsten gleich:

A1A2=abf(x)dx=−bcf(x)dx.

Die gesamte Fläche ist  A1+A2=abf(x)dx−bcf(x)dx .

Hinweis: Der Wert eines Integrals kann sehr wohl negativ sein, nur die Fläche ist immer positiv.

I - Die Fläche zwischen Funktionen

Wenn f(x)g(x) in einem Intervall axb ist, ist die Fläche zwischen den beiden Funktionen in diesem Intervall

abf(x)dx−abg(x)dx,

oder vereinfacht

ab(f(x)−g(x))dx.

Es ist egal, ob f(x)0 oder g(x)0 so lange f(x)g(x). Der Wert der Fläche ist unabhängig davon, ob die Funktionen positiv oder negativ sind. Dies wird aus folgenden Bildern ersichtlich:

Beispiel 12

Berechne die Fläche zwischen den Kurven y=ex+1 und y=1−2x2 und den Geraden x=–1 und x=1.

Da ex+11−2x2 im ganzen Intervall gilt, berechnen wir die die Fläche so:

1−1(ex+1)dx−1−11−2x2dx=1−1ex+2x2dx=ex+6x31−1=e1+613−e−1+6(−1)3=e−e1+31

Beispiel 13

Berechne die Fläche des endlichen Gebietes zwischen den Graphen der Funktionen y=x2 und y=3x .

Die Schnittpunkte der Kurven erhalten wir, wenn deren y-Werte gleich sind,

x2=x13x6=xx(x5−1)=0x=0oderx=1.

Zwischen x=0 und x=1 ist 3xx2  und wir berechnen die Fläche zwischen den Kurven als 01x13−x2dx=43x43−3x310=43x43−3x310=43−31−(0−0)=512

Beispiel 14

Berechne die Fläche des begrenzten Gebietes zwischen den Graphen der Funktionen y=1x2, y=x und y=2.

In der Abbildung sehen wir, dass die Funktionen unser Gebiet in zwei Teilgebiete A1 und A2 aufteilen. Die Fläche des gesamten Gebiets ist die Summe der Flächen der beiden Teilgebiete, A1=ab(2−1x2)dxundA2=bc(2−x)dx.  Wir suchen zuerst die Schnittstellen x=a, x=b und x=c:

• Die Schnittstelle x=a erhalten wir durch die Gleichung

1x2=2x2=21x=12.

(Die negative Wurzel ist für uns uninteressant.)

• Die Schnittstelle x=b erhalten wir durch die Gleichung

1x2=xx3=1x=1.

• Die Schnittstelle x=c erhalten wir durch die Gleichung x=2.

Das Integral ist also

A1A2=1122−1x2dx=1122−x−2dx=2x−−1x−1112=2x+x1112=(2+1)−22+2=3−22,=12(2−x)dx=2x−2x221=(4−2)−2−21=21

und die Fläche ist

A1+A2=3−22+21=27−22

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