3.2 Polarform

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
-
* The complex plane
+
* Die komplexe Zahlenebene
-
* Addition and subtraction in the complex plane
+
* Addition und Subtraktion in der komplexen Zahlenebene
-
* Modulus and argument
+
* Betrag und Argument
-
* Polar form
+
* Polarform
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* Multiplication and division in polar form
+
* Multiplikation und Division in Polarform
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* Multiplication with ''i'' in the complex plane
+
* Multiplikation mit ''i'' in der komplexen Zahlenebene
}}
}}
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learnt:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
-
*A geometric understanding of complex numbers and their arithmetic operations in the plane.
+
* Wie die arithmetischen Rechnungen in der komplexen Zahlenebene geometrisch zu verstehen sind.
-
* To be able to convert the complex number between the form ''a'' + ''ib'' and polar form.
+
* Wie man komplexe Zahlen zwischen der Form ''a'' + ''ib'' und der Polarform umwandelt.
}}
}}
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== The complex plane ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
As a complex number <math>z=a+bi</math> consists of a real part <math>a</math> and an imaginary part <math>b</math>, one can consider <math>z</math> to be an ordered pair of numbers <math>(a,b)</math> and interpreted as a point in a coordinate system. We thus construct a coordinate system by drawing an imaginary axis ( a number axis having a unit <math>i</math>) perpendicular to a real axis (the real-number axis). We can now designate each complex number as a point in this coordinate system, and conversely each point defines a unique complex number.
+
== A - Die komplexe Zahlenebene ==
 +
Nachdem eine komplexe Zahl <math>z=a+bi</math> aus einem Realteil <math>a</math> und einem Imaginärteil <math>b</math> besteht, kann man eine komplexe Zahl <math>z</math> wie ein Zahlenpaar <math>(a,b)</math> in einem Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir, indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse rechtwinklig zueinander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe Zahl einem eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.
-
<center>{{:3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene}}</center>
 
 +
<center>{{:3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene}}</center>
-
This geometric interpretation of the complex numbers is called the ''complex plane'' (sometimes the ''Argand diagram'').
+
Diese geometrische Interpretation der komplexen Zahlen nennt man die ''komplexe Zahlenebene''.
-
''Note:'' The real numbers, that is all complex numbers with imaginary part 0, lie along the real axis. One can therefore regard the extension of the number system from <math>\mathbb{R}</math> (the real numbers) to <math>\mathbb{C}</math> (the complex numbers) to mean that one adjoins an extra dimension to the completely filled real-number axis .
+
Hinweis: Die reellen Zahlen sind komplexe Zahlen, bei denen der Imaginärteil 0 ist und die daher auf der reellen Achse liegen. Daher kann man die Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen so sehen, dass man die Dimension der Zahlengerade auf eine Ebene erweitert.
 +
Generell kann man komplexe Zahlen wie Vektoren behandeln.
-
Addition of complex numbers has a quite natural and simple interpretation in the complex plane and is geometrically the same method as vector addition. Subtraction can be seen as the addition of the corresponding negative number, that is <math>z-w=z+(-w)</math>.
 
{| width="100%" align="center"
{| width="100%" align="center"
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|-
|-
||
||
-
| valign="top" |<small> Geometrically the number ''z''&nbsp;+&nbsp;''w'' is obtained by considering a hypothetical line segment from 0 to ''w'' which is parallel-displaced so that its initial point at 0 is moved to z. Then this line segments terminal point w lands at the point ''z''&nbsp;+&nbsp;''w''.</small>
+
| valign="top" |<small> Geometrisch erhält man die Zahl ''z''&nbsp;+&nbsp;''w'' indem man den Vektor von 0 bis ''w'' parallel zu z verschiebt.</small>
||
||
-
| valign="top" |<small>The subtraction ''z'' - ''w'' can be written as ''z'' + (-''w'') and can therefore be interpreted geometrically as a hypothetical line segment from 0 to -''w'' is parallel-displaced so that its initial point at 0 is moved to ''z''. Then this line segments terminal point -''w'' lands at the point ''z'' - ''w''.</small>
+
| valign="top" |<small>Die Subtraktion ''z'' - ''w'' kann wie ''z'' + (-''w'') geschrieben werden und geometrisch interpretiert werden, als ob man den Vektor von 0 bis -''w'' parallel bis ''z'' verschiebt.</small>
||
||
|}
|}
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-
Given <math>z=2+i</math> and <math>w=-3-i</math>. Indicate <math>z</math>, <math>w</math>, <math>\overline{z}</math>, <math>\overline{z}-\overline{w}</math> and <math>z-w</math> in the complex plane.
+
Mit <math>z=2+i</math> und <math>w=-3-i</math> zeichnen wir <math>z</math>, <math>w</math>, <math>\overline{z}</math>, <math>\overline{z}-\overline{w}</math> und <math>z-w</math> in der komplexen Zahlenebene.
{| width="100%"
{| width="100%"
-
| width="100%" |We have that
+
| width="100%" |Wir haben
*<math>\overline{z}=2-i\,</math>,
*<math>\overline{z}=2-i\,</math>,
*<math>\overline{w}=-3+i\,</math>,
*<math>\overline{w}=-3+i\,</math>,
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|}
|}
-
Note that complex conjugate pairs are mirror images in the real axis.
+
Beachte, dass die konjugiert komplexen Zahlen Spiegelbilder in der reellen Achse sind.
</div>
</div>
Zeile 77: Zeile 78:
''' Beispiel 2'''
''' Beispiel 2'''
-
 
+
Zeichne alle Zahlen <math>z</math> in der komplexen Zahlenebene, die folgende Bedingungen erfüllen:
-
Indicate in the complex plane all numbers <math>z</math> that meet the following conditions:
+
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\mathop{\rm Re} z \ge 3\,</math>,</li>
<li><math>\mathop{\rm Re} z \ge 3\,</math>,</li>
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</ol>
</ol>
-
The first inequality defines the region in the figure on the left below, and the second inequality defines the region in the figure on the right below.
+
Die erste Ungleichung definiert die linke Fläche und die zweite Ungleichung definiert die rechte Fläche.
{| align="center" width="80%"
{| align="center" width="80%"
-
||{{:3.2 - Figure - The region Re z ≥ 3}}
+
||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet Re z ≥ 3}}
| width="5%" |
| width="5%" |
-
||{{:3.2 - Figure - The region -1 less than Im z ≤ 2}}
+
||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet -1 kleiner als Im z ≤ 2}}
|-
|-
-
| valign="top" |<small> All the numbers that satisfy Re&nbsp;''z''&nbsp;≥&nbsp;3 have a real part that is greater than or equal to&nbsp;3. These figures form the shaded semi-plane in the figure. </small>
+
| valign="top" |<small> Alle Zahlen die Re&nbsp;''z''&nbsp;≥&nbsp;3 erfüllen, haben einen Realteil, der größer als &nbsp;3. </small>
||
||
-
| valign="top" |<small>Numbers that satisfy -1&nbsp;<&nbsp;Im&nbsp;''z''&nbsp;≤&nbsp;2 have an imaginary part that is between&nbsp;-1 and&nbsp;2. These numbers are therefore in the ribbon-like region marked in the figure. The lower horizontal line is dotted and that means that points on that line do not belong to the shaded region. </small>
+
| valign="top" |<small>Alle Zahlen die -1&nbsp;<&nbsp;Im&nbsp;''z''&nbsp;≤&nbsp;2 erfüllen, haben einen Imaginärteil, der zwischen &nbsp;-1 und&nbsp;2 liegt. Die untere Gerade ist gestrichelt und dies bedeutet, dass die Punkte auf dieser Gerade nicht zum Gebiet gehören. </small>
|}
|}
</div>
</div>
-
== Absolute value ==
+
== B - Der Betrag komplexer Zahlen ==
-
The real numbers can be arranged in order of magnitude; that is, we can determine whether one real number is greater than another, which is the same as determining whether it lies further to the right on the real number line.
+
Die reellen Zahlen können wir einfach ordnen, da größere Zahlen rechts von kleineren Zahlen auf der Zahlengerade liegen.
-
For the complex numbers this is not possible. We cannot decide which is the larger of, say, <math>z=1-i</math> and <math>w=-1+i</math> . With the help of the concept of ''absolute value'' however, we can define a measure of the size of a complex number.
+
Für komplexe Zahlen ist dies aber nicht möglich. Man kann die komplexen Zahlen nicht nach Größe ordnen. Zum Beispiel kann man nicht sagen, ob <math>z=1-i</math> oder <math>w=-1+i</math> am größten ist. Mit dem Begriff ''Betrag'' kann man aber auch ein Größenmaß für komplexe Zahlen einführen.
-
For a complex number <math>z=a+ib</math> the absolute value or modulus <math>|\,z\,|</math> is defined as <br\><br\>
+
Für eine komplexe Zahl <math>z=a+ib</math> ist der Betrag <math>|\,z\,|</math> definiert als <br\><br\>
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>|\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}</math>}}</div>
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>|\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}</math>}}</div>
-
We see that <math>|\,z\,|</math> is a real number, and that <math>|\,z\,|\ge 0</math>. For a real number <math>b = 0</math> and then <math>|\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,|</math>, which is consistent with the usual definition of an absolute value (or modulus) of a real number. Geometrically the absolute value is the distance from the number <math>z=a+ib</math> (the point <math>(a, b)</math>) to <math>z = 0</math> (origin), according to Pythagoras' theorem.
+
Wir sehen hier, dass <math>|\,z\,|</math> eine reelle Zahl ist und, dass <math>|\,z\,|\ge 0</math>. Für eine reelle Zahl ist <math>b = 0</math> und daher ist <math>|\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,|</math> wie gewohnt. Geometrisch ist der Betrag einer komplexen Zahl der Abstand vom Punkt <math>(0,0)</math> zu einer komplexen Zahl mit den Koordinaten <math>(a, b)</math>, nach dem Gesetz des Pythagoras.
-
 
+
-
<center>{{:3.2 - Figure - The modulus of z}}</center>
+
<center>{{:3.2 - Bild - Der Betrag von z}}</center>
-
== Distance between complex numbers ==
+
== C - Abstand zwischen komplexen Zahlen ==
-
With the help of the formula for the distance between points in a coordinate system one can obtain an important and useful interpretation of the absolute value. The distance <math>s</math> between the two complex numbers <math>z=a+ib</math> and <math>w=c+id</math> (see fig.) can with the help of the formula for distance be written as
+
Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene können wir den Abstand <math>s</math> zwischen zwei komplexen Zahlen <math>z=a+ib</math> und <math>w=c+id</math> (siehe Bild) mit der Abstandsformel berechnen
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}</math>}}</div>
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}</math>}}</div>
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-
Since <math>z-w=(a-c)+i(b-d)</math>, one gets
+
Da <math>z-w=(a-c)+i(b-d)</math>, erhalten wir
-
<center><math>|\,z-w\,|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={}</math> distance between the numbers <math>z</math> and <math>w</math>.</center>
+
<center><math>|\,z-w\,|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={}</math> der Abstand zwischen <math>z</math> und <math>w</math>.</center>
Zeile 133: Zeile 132:
''' Beispiel 3'''
''' Beispiel 3'''
-
 
+
Zeichne in der komplexen Zahlenebene die folgende Menge.
-
Indicate the following sets in the complex plane:
+
{| width="100%"
{| width="100%"
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<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
The equation describes all numbers whose distance to the origin is 2. These numbers describe in the complex plane a circle with radius 2 and its centre at the origin. </li>
+
Diese Gleichung beschreibt alle Zahlen, die den Abstand 2 zum Punkt <math>(0,0)</math> haben. Die Gleichung beschreibt also einen Kreis mit dem Mittelpunkt <math>(0,0)</math> und dem Radius 2.
 +
</li>
</ol>
</ol>
| width="5%" |
| width="5%" |
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<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
This equation is satisfied by all the numbers, whose distance from the number 2 is equal to 1, i.e. a circle of radius 1 and with its centre at <math>z = 2</math>.</li>
+
Diese Gleichung wird von allen Zahlen erfüllt, deren Abstand von der Zahl 2 gleich 1 ist. Also ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>z = 2</math> und dem Radius 1.</li>
</ol>
</ol>
| width="5%" |
| width="5%" |
Zeile 166: Zeile 165:
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
The left-hand side can be written <math>|\,z-(-2+i)\,|</math>, which means all the numbers at a distance <math>{}\le 2</math> from the number <math>-2+i</math>, that is a circular disc a with a radius of 2 and its centre at <math>-2+i</math>.</li>
+
Die linke Seite kann als <math>|\,z-(-2+i)\,|</math> geschrieben werden, daher beschreibt die Ungleichung alle Zahlen, deren Abstand zur Zahl <math>-2+i</math> geringer als 2 ist. Das ist ein Kreis mit dem Radius 2 und dem Mittelpunkt <math>-2+i</math>.</li>
</ol>
</ol>
| width="5%" |
| width="5%" |
Zeile 178: Zeile 177:
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
The set is given by any number whose distance from <math>z=2+3i</math> is between <math>\frac{1}{2}</math> and <math>1</math>.</li>
+
Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen, deren Abstand zur Zahl <math>z=2+3i</math> zwischen <math>\frac{1}{2}</math> und <math>1</math> ist.</li>
</ol>
</ol>
| width="5%" |
| width="5%" |
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''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
-
 
+
Zeichne in der komplexen Zahlenebene alle Zahlen ein, die die folgenden (Un)gleichungen erfüllen:
-
Indicate in the complex plane all numbers <math>z</math> satisfying the following conditions:
+
Zeile 197: Zeile 195:
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
The first inequality gives the points on and inside a circle with radius 3 and center at <math>2i</math>. The second inequality is a vertical strip of points with their real part between 1 and 2. The area satisfying both inequalities is given by the points which lie both within the circle and within the strip.
+
Die erste Ungleichung gibt an, dass die Zahlen im Kreis mit dem Radius 3 um den Mittelpunkt <math>2i</math> liegen müssen. Die zweite Ungleichung ist ein vertikaler Streifen von Zahlen, deren Realteil zwischen 1 und 2 liegt. Die Zahlen, die in beiden Gebieten liegen, erfüllen auch beide Ungleichungen.
-
</li>
+
<br/>
<br/>
<li><math>\, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|</math>
<li><math>\, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|</math>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
The equation can be written as <math>|\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,|</math>. This shows then that <math>z</math> should be at an equal distance from <math>-1</math> and <math>2</math>. This condition is met by all the numbers <math>z</math> that have a real part <math>1/2</math>.
+
Die Gleichung kann wie <math>|\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,|</math> geschrieben werden. Also muss <math>z</math> denselben Abstand zu <math>-1</math> wie zu <math>2</math> haben. Diese Bedingung ist von allen Zahlen <math>z</math> erfüllt, die den Realteil <math>1/2</math> haben.
</li>
</li>
</ol>
</ol>
{| align="center" width="80%"
{| align="center" width="80%"
-
||{{:3.2 - Figure - The region ∣z - 2i∣ ≤ 3 and 1 ≤ Re z ≤ 2}}
+
||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet ∣z - 2i∣ ≤ 3 und 1 ≤ Re z ≤ 2}}
| width="5%" |
| width="5%" |
-
||{{:3.2 - Figure - The region ∣z + 1∣ = ∣z - 2∣}}
+
||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet ∣z + 1∣ = ∣z - 2∣}}
|-
|-
-
||<small> The shaded region consists of the points that satisfy the inequalities |''z''&nbsp;- 2i|&nbsp;≤&nbsp;3 and 1&nbsp;≤ Re&nbsp;''z''&nbsp;≤&nbsp;2.</small>
+
||<small> Das gestrichelte Gebiet besteht aus den Punkten, die die Ungleichungen |''z''&nbsp;- 2i|&nbsp;≤&nbsp;3 und 1&nbsp;≤ Re&nbsp;''z''&nbsp;≤&nbsp;2 erfüllen.</small>
||
||
-
||<small>The points that satisfy the equation |''z''&nbsp;+ 1|&nbsp;= |''z''&nbsp;- 2| lie on the line with real part equal to 1/2.</small>
+
||<small>Die Zahlen, die |''z''&nbsp;+ 1|&nbsp;= |''z''&nbsp;- 2| erfüllen, liegen auf der Gerade von Zahlen deren Realteil 1/2 ist.</small>
|}
|}
Zeile 220: Zeile 217:
-
== Polar form ==
+
== D - Polarform ==
-
Instead of representing a complex number <math>z=x+iy</math> by its rectangular coordinates <math>(x,y)</math> one can use polar coordinates. This means that one represents a numbers location in the complex plane by its distance <math>r</math> to the origin, and the angle <math>\alpha</math>, made by the positive real-line axis and the line from the origin to the number (see the figure).
+
Anstatt komplexe Zahlen <math>z=x+iy</math> mit deren kartesischen Koordinaten zu beschreiben, kann man polare Koordinaten verwenden. Die Darstellung einer komplexen Zahl erfolgt durch Betrag und Argument (Winkel) der Zahl (siehe Bild).
<center>{{:3.2 - Bild - Polarform von z}}</center>
<center>{{:3.2 - Bild - Polarform von z}}</center>
-
Since <math>\,\cos\alpha = x/r\,</math> and <math>\,\sin\alpha = y/r\,</math> then <math>\,x = r\cos\alpha\,</math> and <math>\,y= r\sin\alpha</math>. The number <math>z=x+iy</math> can be written as
+
Nachdem <math>\,\cos\alpha = x/r\,</math> und <math>\,\sin\alpha = y/r\,</math> ist <math>\,x = r\cos\alpha\,</math> und <math>\,y= r\sin\alpha</math>. Die Zahl <math>z=x+iy</math> kann also als
-
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{,}</math>}}</div>
+
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{}</math>}}</div>
-
which is called the ''polar form'' of a complex number <math>z</math>. The angle <math>\alpha</math> is called the ''argument'' of <math>z</math> and is written
+
geschrieben werden. Dies nennt man die Polarform der komlexen Zahl <math>z</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> wird das Argument von <math>z</math> genannt und wird geschrieben als
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>\alpha=\arg\,z\,\mbox{.}</math>}}</div>
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>\alpha=\arg\,z\,\mbox{.}</math>}}</div>
-
The angle <math>\alpha</math>, for example, can be determined by solving the equation <math>\tan\alpha=y/x</math>. This equation, however, has a number of solutions, so we must ensure that we choose the solution <math>\alpha</math> that allows <math>z= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)</math> to end up in the correct quadrant.
+
Den Winkel <math>\alpha</math> kann man bestimmen, indem man die Gleichung <math>\tan\alpha=y/x</math> löst. Nachdem diese Gleichung unendlich viele Lösungen hat, ist das Argument nicht eindeutig definiert. Meistens wählt man das Argument so, dass es zwischen 0 und <math>2\pi</math> oder zwischen <math>-\pi</math> und <math>\pi</math> liegt. Dabei ist darauf zu achten, den Winkel dazu anzupassen in welchem Quadranten sich die komplexe Zahl in der Zahlenebene befindet.
-
 
+
-
The argument of a complex number is not uniquely determined because angles that differ by <math>2\pi</math> indicate the same direction in the complex plane. Normally, one uses for the argument the angle between 0 and <math>2\pi</math> or between <math>-\pi</math> and <math>\pi</math>.
+
-
 
+
-
The real number <math>r</math>, the distance to the origin as we have already seen, is the absolute value of <math>z</math>,
+
Die reelle Zahl <math>r</math> ist der Abstand der Zahl zum Punkt (0,0), also der Betrag von <math>z</math>
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>r=\sqrt{x^2+y^2}=|\,z\,|\,\mbox{.}</math>}}</div>
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>r=\sqrt{x^2+y^2}=|\,z\,|\,\mbox{.}</math>}}</div>
Zeile 248: Zeile 242:
-
Write the following complex numbers in polar form:
+
Schreibe folgende komplexe Zahlen in Polarform:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\,\,-3</math>
<li><math>\,\,-3</math>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
We have that <math>|\,-3\,|=3</math> and <math>\arg (-3)=\pi</math>, which means that <math>\ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi)</math>.
+
Da <math>|\,-3\,|=3</math> und <math>\arg (-3)=\pi</math>, ist <math>\ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi)</math>.
</li>
</li>
Zeile 259: Zeile 253:
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
We have that <math>|\,i\,|=1</math> and <math>\arg i = \pi/2</math> which in polar form is <math>\ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,</math>.
+
Da <math>|\,i\,|=1</math> und <math>\arg i = \pi/2</math>, ist <math>\ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,</math>.
</li>
</li>
Zeile 265: Zeile 259:
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
The formula for a the absolute value of a complex number gives <math>|\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}</math>. The complex number lies in the fourth quadrant and has an angle <math>\pi/4</math> with the positive real axis, which gives <math>\arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4</math>. Thus <math>\ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr)</math>.
+
Der Betrag ist <math>|\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}</math>. Die Zahl liegt im vierten Quadranten, und hat den Winkel <math>\pi/4</math> zu der positiven reellen Achse. <br>Daher ist das Argument <math>\arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4</math>. <br> Und daher ist <math>\ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr)</math>.
</li>
</li>
Zeile 271: Zeile 265:
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
The absolute value is the easiest to calculate
+
Wir berechnen zuerst den Betrag
{{Abgesetzte Formel||<math>|\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>|\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}</math>}}
-
If we call the argument <math>\alpha</math> then it satisfies the relationship
+
Wir benennen das Argument <math>\alpha</math>. Das Argument erfüllt die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}</math>}}
-
and since the number is in the first quadrant (positive real and imaginary parts) one gets <math>\alpha=\pi/6</math> and we have that
+
und da die Zahl im ersten Quadranten liegt, ist <math>\alpha=\pi/6</math> und daher
 +
 
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}</math>}}
</li>
</li>
Zeile 285: Zeile 280:
-
== Multiplication and division of polar forms ==
+
== E - Multiplikation und Division in Polarform ==
-
The big advantage of having the complex numbers written in polar form is that multiplication and division then becomes very easy to perform. For arbitrary complex numbers <math>z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha)</math> and <math>w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta)</math>, it can be shown using the trigonometric formulas for addition that
+
Der große Vorteil der Polarform ist, dass die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen sich sehr einfach ausführen lässt. Für zwei komplexe Zahlen <math>z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha)</math> und <math>w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta)</math> kann man mit Hilfe von trigonometrischen Identitäten zeigen, dass
<div class="regel">
<div class="regel">
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When multiplying complex numbers, the absolute values ''are multiplied'', while the arguments ''are added''. For division of complex numbers, absolute values ''are divided'' and the arguments ''subtracted''. This can be summarised as:
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Wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert, werden deren Beträge multipliziert und deren Argumente addiert. Wenn man zwei komplexe Zahlen dividiert, werden deren Beträge dividiert und deren Argumente subtrahiert. Zusammengefasst gilt also
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<div class="regel">
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{{Abgesetzte Formel||<math>|\,z\, w\,|=|\,z\,|\, |\,w\,|\quad \mbox{and}\quad \arg(z\, w)=\arg\,z + \arg\,w\,\mbox{,}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>|\,z\, w\,|=|\,z\,|\, |\,w\,|\quad \mbox{und}\quad \arg(z\, w)=\arg\,z + \arg\,w\,\mbox{,}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl|\,\frac{z}{w}\,\Bigr|=\frac{|\,z\,|}{|\,w\,|}\quad\quad\quad\; \mbox{ and}\quad \arg\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)=\arg \,z - \arg\,w\,\mbox{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl|\,\frac{z}{w}\,\Bigr|=\frac{|\,z\,|}{|\,w\,|}\quad\quad\quad\; \mbox{ und}\quad \arg\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)=\arg \,z - \arg\,w\,\mbox{.}</math>}}
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In the complex plane this means that multiplication of <math>z</math> with <math>w</math> causes <math>z</math> to be stretched by a factor <math>|\,w\,|</math> and rotated anticlockwise by an angle <math>\arg\,w</math>.
 
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Simplify the following expressions by writing them in polar form:
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Vereinfache folgende Ausdrücke, indem Du die Ausdrücke in Polarform schreibst.
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/
<li><math>\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/
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We write the numerator and denominator in polar form
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Wir schreiben den Zähler und Nenner jeweils in Polarform.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\times\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\times\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align*}</math>}}
-
and it follows that
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Es folgt jetzt, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[16pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[16pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</li>
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The factors in the expression are written in polar form
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Wir schreiben die beiden Faktoren jeweils in Polarform.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\end{align*}</math>}}
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Multiplication in polar form gives
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Durch die Multiplikationsregeln der Polarform folgt, dass
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \times \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</li>
</li>
</ol>
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<ol type="a">
<ol type="a">
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<li> Simplify <math>iz</math> and <math>\frac{z}{i}</math> if <math>\ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)</math>. Antwort in polar form.
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<li> Vereinfache <math>iz</math> und <math>\frac{z}{i}</math> wenn<math>\ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)</math>. Gib die Antwort in Polarform an.
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Since <math>\ i=1\times \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\ </math> it follows that
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Da <math>\ i=1\cdot \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)</math> folgt, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} iz &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} iz &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</li>
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<li> Simplify <math>iz</math> and <math>\frac{z}{i}</math> if <math>\ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)\,</math>. Antwort in polar form.
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<li> Vereinfache <math>iz</math> und <math>\frac{z}{i}</math>, wenn <math>\ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)</math>. Antworte in Polarform.
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Rewriting <math>i</math> in polar form gives
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Wir schreiben <math>i</math> in Polarform und erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\, \Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 3\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</li>
</li>
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We see that multiplying by ''i'' leads to an anticlockwise rotation <math>\pi/2</math>, while division with ''i'' results in a clockwise rotation <math>\pi/2</math>.
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Wir sehen, dass die Multiplikation mit ''i'' zu einer Drehung des Winkels <math>\pi/2</math> gegen den Uhrzeigersinn führt.
{| width="80%" align="center"
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||{{:3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene mit z, iz und z/i markiert, wo arg z = 7π/4}}
||{{:3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene mit z, iz und z/i markiert, wo arg z = 7π/4}}
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||<small>Complex numbers ''z'', ''iz'' and ''z''/''i'' when |''z''|&nbsp;=&nbsp;2 and arg&nbsp;''z''&nbsp;= π/6.</small>
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||<small>Komplexe Zahlen ''z'', ''iz'' und ''z''/''i'', bei denen |''z''|&nbsp;=&nbsp;2 und arg&nbsp;''z''&nbsp;= π/6.</small>
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||<small>Complex numbers ''z'', ''iz'' and ''z''/''i'' when |''z''|&nbsp;=&nbsp;3 and arg&nbsp;''z''&nbsp;= 7π/4.</small>
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||<small>Komplexe Zahlen ''z'', ''iz'' und ''z''/''i'', bei denen |''z''|&nbsp;=&nbsp;3 und arg&nbsp;''z''&nbsp;= 7π/4.</small>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die komplexe Zahlenebene
  • Addition und Subtraktion in der komplexen Zahlenebene
  • Betrag und Argument
  • Polarform
  • Multiplikation und Division in Polarform
  • Multiplikation mit i in der komplexen Zahlenebene

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie die arithmetischen Rechnungen in der komplexen Zahlenebene geometrisch zu verstehen sind.
  • Wie man komplexe Zahlen zwischen der Form a + ib und der Polarform umwandelt.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Die komplexe Zahlenebene

Nachdem eine komplexe Zahl \displaystyle z=a+bi aus einem Realteil \displaystyle a und einem Imaginärteil \displaystyle b besteht, kann man eine komplexe Zahl \displaystyle z wie ein Zahlenpaar \displaystyle (a,b) in einem Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir, indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse rechtwinklig zueinander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe Zahl einem eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.


[Image]

Diese geometrische Interpretation der komplexen Zahlen nennt man die komplexe Zahlenebene.


Hinweis: Die reellen Zahlen sind komplexe Zahlen, bei denen der Imaginärteil 0 ist und die daher auf der reellen Achse liegen. Daher kann man die Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen so sehen, dass man die Dimension der Zahlengerade auf eine Ebene erweitert.

Generell kann man komplexe Zahlen wie Vektoren behandeln.


[Image]

[Image]

Geometrisch erhält man die Zahl z + w indem man den Vektor von 0 bis w parallel zu z verschiebt. Die Subtraktion z - w kann wie z + (-w) geschrieben werden und geometrisch interpretiert werden, als ob man den Vektor von 0 bis -w parallel bis z verschiebt.

Beispiel 1


Mit \displaystyle z=2+i und \displaystyle w=-3-i zeichnen wir \displaystyle z, \displaystyle w, \displaystyle \overline{z}, \displaystyle \overline{z}-\overline{w} und \displaystyle z-w in der komplexen Zahlenebene.

Wir haben
  • \displaystyle \overline{z}=2-i\,,
  • \displaystyle \overline{w}=-3+i\,,
  • \displaystyle z-w=2+i-(-3-i)
    \displaystyle \phantom{z-w}{}=5+2i\,,
  • \displaystyle \overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)
    \displaystyle \phantom{\overline{z} -\overline{w}}{}=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})\,.

[Image]

Beachte, dass die konjugiert komplexen Zahlen Spiegelbilder in der reellen Achse sind.

Beispiel 2

Zeichne alle Zahlen \displaystyle z in der komplexen Zahlenebene, die folgende Bedingungen erfüllen:

  1. \displaystyle \mathop{\rm Re} z \ge 3\,,
  2. \displaystyle -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2\,.

Die erste Ungleichung definiert die linke Fläche und die zweite Ungleichung definiert die rechte Fläche.


[Image]

[Image]

Alle Zahlen die Re z ≥ 3 erfüllen, haben einen Realteil, der größer als  3. Alle Zahlen die -1 < Im z ≤ 2 erfüllen, haben einen Imaginärteil, der zwischen  -1 und 2 liegt. Die untere Gerade ist gestrichelt und dies bedeutet, dass die Punkte auf dieser Gerade nicht zum Gebiet gehören.


B - Der Betrag komplexer Zahlen

Die reellen Zahlen können wir einfach ordnen, da größere Zahlen rechts von kleineren Zahlen auf der Zahlengerade liegen.

Für komplexe Zahlen ist dies aber nicht möglich. Man kann die komplexen Zahlen nicht nach Größe ordnen. Zum Beispiel kann man nicht sagen, ob \displaystyle z=1-i oder \displaystyle w=-1+i am größten ist. Mit dem Begriff Betrag kann man aber auch ein Größenmaß für komplexe Zahlen einführen.


Für eine komplexe Zahl \displaystyle z=a+ib ist der Betrag \displaystyle |\,z\,| definiert als

\displaystyle |\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}

Wir sehen hier, dass \displaystyle |\,z\,| eine reelle Zahl ist und, dass \displaystyle |\,z\,|\ge 0. Für eine reelle Zahl ist \displaystyle b = 0 und daher ist \displaystyle |\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,| wie gewohnt. Geometrisch ist der Betrag einer komplexen Zahl der Abstand vom Punkt \displaystyle (0,0) zu einer komplexen Zahl mit den Koordinaten \displaystyle (a, b), nach dem Gesetz des Pythagoras.

[Image]


C - Abstand zwischen komplexen Zahlen

Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene können wir den Abstand \displaystyle s zwischen zwei komplexen Zahlen \displaystyle z=a+ib und \displaystyle w=c+id (siehe Bild) mit der Abstandsformel berechnen

\displaystyle s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}

[Image]


Da \displaystyle z-w=(a-c)+i(b-d), erhalten wir

\displaystyle |\,z-w\,|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={} der Abstand zwischen \displaystyle z und \displaystyle w.


Beispiel 3

Zeichne in der komplexen Zahlenebene die folgende Menge.

  1. \displaystyle \,\, |\,z\,|=2

    Diese Gleichung beschreibt alle Zahlen, die den Abstand 2 zum Punkt \displaystyle (0,0) haben. Die Gleichung beschreibt also einen Kreis mit dem Mittelpunkt \displaystyle (0,0) und dem Radius 2.

[Image]

  1. \displaystyle \,\, |\,z-2\,|=1

    Diese Gleichung wird von allen Zahlen erfüllt, deren Abstand von der Zahl 2 gleich 1 ist. Also ein Kreis mit dem Mittelpunkt \displaystyle z = 2 und dem Radius 1.

[Image]

  1. \displaystyle \,\, |\,z+2-i\,|\le 2

    Die linke Seite kann als \displaystyle |\,z-(-2+i)\,| geschrieben werden, daher beschreibt die Ungleichung alle Zahlen, deren Abstand zur Zahl \displaystyle -2+i geringer als 2 ist. Das ist ein Kreis mit dem Radius 2 und dem Mittelpunkt \displaystyle -2+i.

[Image]

  1. \displaystyle \,\, \frac{1}{2}\le |\,z-(2+3i)\,|\le 1

    Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen, deren Abstand zur Zahl \displaystyle z=2+3i zwischen \displaystyle \frac{1}{2} und \displaystyle 1 ist.

[Image]

Beispiel 4

Zeichne in der komplexen Zahlenebene alle Zahlen ein, die die folgenden (Un)gleichungen erfüllen:


  1. \displaystyle \, \left\{ \eqalign{&|\,z-2i\,|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.

    Die erste Ungleichung gibt an, dass die Zahlen im Kreis mit dem Radius 3 um den Mittelpunkt \displaystyle 2i liegen müssen. Die zweite Ungleichung ist ein vertikaler Streifen von Zahlen, deren Realteil zwischen 1 und 2 liegt. Die Zahlen, die in beiden Gebieten liegen, erfüllen auch beide Ungleichungen.
  2. \displaystyle \, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|

    Die Gleichung kann wie \displaystyle |\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,| geschrieben werden. Also muss \displaystyle z denselben Abstand zu \displaystyle -1 wie zu \displaystyle 2 haben. Diese Bedingung ist von allen Zahlen \displaystyle z erfüllt, die den Realteil \displaystyle 1/2 haben.

[Image]

[Image]

Das gestrichelte Gebiet besteht aus den Punkten, die die Ungleichungen |z - 2i| ≤ 3 und 1 ≤ Re z ≤ 2 erfüllen. Die Zahlen, die |z + 1| = |z - 2| erfüllen, liegen auf der Gerade von Zahlen deren Realteil 1/2 ist.


D - Polarform

Anstatt komplexe Zahlen \displaystyle z=x+iy mit deren kartesischen Koordinaten zu beschreiben, kann man polare Koordinaten verwenden. Die Darstellung einer komplexen Zahl erfolgt durch Betrag und Argument (Winkel) der Zahl (siehe Bild).

[Image]


Nachdem \displaystyle \,\cos\alpha = x/r\, und \displaystyle \,\sin\alpha = y/r\, ist \displaystyle \,x = r\cos\alpha\, und \displaystyle \,y= r\sin\alpha. Die Zahl \displaystyle z=x+iy kann also als

\displaystyle z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{}

geschrieben werden. Dies nennt man die Polarform der komlexen Zahl \displaystyle z. Der Winkel \displaystyle \alpha wird das Argument von \displaystyle z genannt und wird geschrieben als

\displaystyle \alpha=\arg\,z\,\mbox{.}

Den Winkel \displaystyle \alpha kann man bestimmen, indem man die Gleichung \displaystyle \tan\alpha=y/x löst. Nachdem diese Gleichung unendlich viele Lösungen hat, ist das Argument nicht eindeutig definiert. Meistens wählt man das Argument so, dass es zwischen 0 und \displaystyle 2\pi oder zwischen \displaystyle -\pi und \displaystyle \pi liegt. Dabei ist darauf zu achten, den Winkel dazu anzupassen in welchem Quadranten sich die komplexe Zahl in der Zahlenebene befindet.

Die reelle Zahl \displaystyle r ist der Abstand der Zahl zum Punkt (0,0), also der Betrag von \displaystyle z

\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}=|\,z\,|\,\mbox{.}

Beispiel 5


Schreibe folgende komplexe Zahlen in Polarform:

  1. \displaystyle \,\,-3

    Da \displaystyle |\,-3\,|=3 und \displaystyle \arg (-3)=\pi, ist \displaystyle \ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi).
  2. \displaystyle \,i

    Da \displaystyle |\,i\,|=1 und \displaystyle \arg i = \pi/2, ist \displaystyle \ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,.
  3. \displaystyle \,1-i

    Der Betrag ist \displaystyle |\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}. Die Zahl liegt im vierten Quadranten, und hat den Winkel \displaystyle \pi/4 zu der positiven reellen Achse.
    Daher ist das Argument \displaystyle \arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4.
    Und daher ist \displaystyle \ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr).
  4. \displaystyle \,2\sqrt{3}+2i

    Wir berechnen zuerst den Betrag
    \displaystyle |\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}

    Wir benennen das Argument \displaystyle \alpha. Das Argument erfüllt die Gleichung

    \displaystyle \tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}

    und da die Zahl im ersten Quadranten liegt, ist \displaystyle \alpha=\pi/6 und daher

    \displaystyle 2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}

[Image]


E - Multiplikation und Division in Polarform

Der große Vorteil der Polarform ist, dass die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen sich sehr einfach ausführen lässt. Für zwei komplexe Zahlen \displaystyle z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha) und \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta) kann man mit Hilfe von trigonometrischen Identitäten zeigen, dass

\displaystyle \begin{align*}z\, w&=|\,z\,|\,|\,w\,|\,\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\,\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{w}&=\frac{|z|}{|w|}\bigl(\cos(\alpha-\beta)+i\,\sin(\alpha-\beta)\bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

Wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert, werden deren Beträge multipliziert und deren Argumente addiert. Wenn man zwei komplexe Zahlen dividiert, werden deren Beträge dividiert und deren Argumente subtrahiert. Zusammengefasst gilt also

\displaystyle |\,z\, w\,|=|\,z\,|\, |\,w\,|\quad \mbox{und}\quad \arg(z\, w)=\arg\,z + \arg\,w\,\mbox{,}
\displaystyle \Bigl|\,\frac{z}{w}\,\Bigr|=\frac{|\,z\,|}{|\,w\,|}\quad\quad\quad\; \mbox{ und}\quad \arg\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)=\arg \,z - \arg\,w\,\mbox{.}


[Image]

[Image]


Beispiel 6


Vereinfache folgende Ausdrücke, indem Du die Ausdrücke in Polarform schreibst.

  1. \displaystyle \Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl( -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr)

    Wir schreiben den Zähler und Nenner jeweils in Polarform.
    \displaystyle \begin{align*}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align*}

    Es folgt jetzt, dass

    \displaystyle \begin{align*}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[16pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align*}

  2. \displaystyle (-2-2i)(1+i)

    Wir schreiben die beiden Faktoren jeweils in Polarform.
    \displaystyle \begin{align*}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\end{align*}

    Durch die Multiplikationsregeln der Polarform folgt, dass

    \displaystyle \begin{align*}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 7


  1. Vereinfache \displaystyle iz und \displaystyle \frac{z}{i} wenn\displaystyle \ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr). Gib die Antwort in Polarform an.

    Da \displaystyle \ i=1\cdot \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right) folgt, dass
    \displaystyle \begin{align*} iz &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

  2. Vereinfache \displaystyle iz und \displaystyle \frac{z}{i}, wenn \displaystyle \ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right). Antworte in Polarform.

    Wir schreiben \displaystyle i in Polarform und erhalten
    \displaystyle \begin{align*} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\, \Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 3\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

Wir sehen, dass die Multiplikation mit i zu einer Drehung des Winkels \displaystyle \pi/2 gegen den Uhrzeigersinn führt.

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Komplexe Zahlen z, iz und z/i, bei denen |z| = 2 und arg z = π/6. Komplexe Zahlen z, iz und z/i, bei denen |z| = 3 und arg z = 7π/4.



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