3.2 Polarform

Beispiel 1

Mit \displaystyle z=2+i und \displaystyle w=-3-i zeichnen wir \displaystyle z, \displaystyle w, \displaystyle \overline{z}, \displaystyle \overline{z}-\overline{w} und \displaystyle z-w in der komplexen Zahlenebene.

Beachte, dass die konjugiert komplexen Zahlen Spiegelbilder in der reellen Achse sind.

Beispiel 2

Zeichne alle Zahlen \displaystyle z in der komplexen Zahlenebene, die folgende Bedingungen erfüllen:

1. \displaystyle \mathop{\rm Re} z \ge 3\,,
2. \displaystyle -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2\,.

Die erste Ungleichung definiert die linke Fläche und die zweite Ungleichung definiert die rechte Fläche.

Beispiel 3

Zeichne in der komplexen Zahlenebene die folgende Menge.

Beispiel 4

Zeichne in der komplexen Zahlenebene alle Zahlen ein, die die folgenden (Un)gleichungen erfüllen:

1. \displaystyle \, \left\{ \eqalign{&|\,z-2i\,|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.
   
   Die erste Ungleichung gibt an, dass die Zahlen im Kreis mit dem Radius 3 um den Mittelpunkt \displaystyle 2i liegen müssen. Die zweite Ungleichung ist ein vertikaler Streifen von Zahlen, deren Realteil zwischen 1 und 2 liegt. Die Zahlen, die in beiden Gebieten liegen, erfüllen auch beide Ungleichungen.
   
2. \displaystyle \, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|
   
   Die Gleichung kann wie \displaystyle |\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,| geschrieben werden. Also muss \displaystyle z denselben Abstand zu \displaystyle -1 wie zu \displaystyle 2 haben. Diese Bedingung ist von allen Zahlen \displaystyle z erfüllt, die den Realteil \displaystyle 1/2 haben.

Beispiel 5

Schreibe folgende komplexe Zahlen in Polarform:

1. \displaystyle \,\,-3
   
   Da \displaystyle |\,-3\,|=3 und \displaystyle \arg (-3)=\pi, ist \displaystyle \ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi).
2. \displaystyle \,i
   
   Da \displaystyle |\,i\,|=1 und \displaystyle \arg i = \pi/2, ist \displaystyle \ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,.
3. \displaystyle \,1-i
   
   Der Betrag ist \displaystyle |\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}. Die Zahl liegt im vierten Quadranten, und hat den Winkel \displaystyle \pi/4 zu der positiven reellen Achse.
   Daher ist das Argument \displaystyle \arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4.
   Und daher ist \displaystyle \ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr).
4. \displaystyle \,2\sqrt{3}+2i
   
   Wir berechnen zuerst den Betrag

   \displaystyle |\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}

   Wir benennen das Argument \displaystyle \alpha. Das Argument erfüllt die Gleichung

   \displaystyle \tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}

   und da die Zahl im ersten Quadranten liegt, ist \displaystyle \alpha=\pi/6 und daher

   \displaystyle 2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}

Beispiel 6

Vereinfache folgende Ausdrücke, indem Du die Ausdrücke in Polarform schreibst.

1. \displaystyle \Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl( -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr)
   
   Wir schreiben den Zähler und Nenner jeweils in Polarform.

   \displaystyle \begin{align*}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align*}

   Es folgt jetzt, dass

   \displaystyle \begin{align*}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[16pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align*}




2. \displaystyle (-2-2i)(1+i)
   
   Wir schreiben die beiden Faktoren jeweils in Polarform.

   \displaystyle \begin{align*}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\end{align*}

   Durch die Multiplikationsregeln der Polarform folgt, dass

   \displaystyle \begin{align*}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 7

1. Vereinfache \displaystyle iz und \displaystyle \frac{z}{i} wenn\displaystyle \ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr). Gib die Antwort in Polarform an.
   
   Da \displaystyle \ i=1\cdot \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right) folgt, dass

   \displaystyle \begin{align*} iz &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}




2. Vereinfache \displaystyle iz und \displaystyle \frac{z}{i}, wenn \displaystyle \ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right). Antworte in Polarform.
   
   Wir schreiben \displaystyle i in Polarform und erhalten

   \displaystyle \begin{align*} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\, \Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 3\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

Wir sehen, dass die Multiplikation mit i zu einer Drehung des Winkels \displaystyle \pi/2 gegen den Uhrzeigersinn führt.