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Lösung 3.3:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Eine Gleichung auf der Form "<math>z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}</math>" löst man indem man alle Zahlen auf Polarform bringt, und den Moivreschen Satz benutzt.
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Eine Gleichung der Form "<math>z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}</math>" löst man, indem man alle Zahlen in Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.
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Wir bringen zuerst <math>z</math> und <math>1</math> auf Polarform
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Wir bringen zuerst <math>z</math> und <math>1</math> in Polarform
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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und erhalten die Gleichung
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Wir erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}
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wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit dir rechte und die linke Seite gleich sein sollen, msen deren Betrag gleich sein, und deren Argument darf sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,
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wobei wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit die rechte und die linke Seite gleich sind, müssen deren Beträge gleich sein und auch deren Argumente dürfen sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^{4} &= 1\,,\\[5pt]
r^{4} &= 1\,,\\[5pt]
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4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n is an arbitrary integer})\,\textrm{.}
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4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige ganze Zahl})\textrm{.}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Also it
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Also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r &= 1\,,\\[5pt]
r &= 1\,,\\[5pt]
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\alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n is an arbitrary integer).}
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\alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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und die Wurzeln sind:
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Und die Wurzeln sind
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{{Abgesetzte Formel||<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{for }n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ldots</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3</math>.}}
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Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche winkeln, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2\,</math>, nachdem jeder anderer Winkel sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.
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Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2</math>, da jeder anderer Winkel sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.
Die Wurzeln sind daher
Die Wurzeln sind daher
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Wir sehen dass die Lösungen eine Quadrate bilden, wie wir es erwarten, nachdem wir 4 verschiedene Lösungen haben.
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Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, da wir 4 verschiedene Lösungen haben.
[[Image:3_3_2_a.gif|center]]
[[Image:3_3_2_a.gif|center]]

Aktuelle Version

Eine Gleichung der Form "zn=Eine komplexe Zahl" löst man, indem man alle Zahlen in Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.

Wir bringen zuerst z und 1 in Polarform

z1=r(cos+isin)=1(cos0+isin0).

Wir erhalten die Gleichung

r4(cos4+isin4)=1(cos0+isin0)

wobei wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit die rechte und die linke Seite gleich sind, müssen deren Beträge gleich sein und auch deren Argumente dürfen sich nur durch ein Vielfaches von 2 unterscheiden

r44=1=0+2n(n ist eine beliebige ganze Zahl). 

Also ist

r=1=2n(n ist eine beliebige ganze Zahl).

Und die Wurzeln sind

z=1cos2n+isin2nfür n=0123 .

Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich 0, 2, und 32, da jeder anderer Winkel sich nur durch ein Vielfaches von 2 von diesen Winkeln unterscheidet.

Die Wurzeln sind daher

z=1(cos0+isin0)1(cos(2)+isin(2))1(cos+isin)1(cos(32)+isin(32))=1i−1−i.

Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, da wir 4 verschiedene Lösungen haben.

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