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Lösung 3.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K
Aktuelle Version (12:39, 14. Okt. 2011) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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If we use <math>w=z-1</math> as a new unknown and move the term <math>4</math> over to the right-hand side, we have a binomial equation,
+
Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.
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{{Displayed math||<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4</math>}}
-
We can solve this equation in the usual way by using polar form and de Moivre's formula. We have
+
Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
-
-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,,
+
-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
and the equation becomes
+
und wir erhalten die Gleichung
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{{Displayed math||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
-
The only way that both sides can be equal is if the magnitudes agree and the arguments do not differ by anything other than a multiple of <math>2\pi</math>,
+
Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten
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{{Displayed math||<math>\left\{\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^4 &= 4\,,\\[5pt]
r^4 &= 4\,,\\[5pt]
-
4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
+
4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl)}
\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
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which gives us that
+
und erhalten
-
{{Displayed math||<math>\left\{\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-
\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
+
\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
For <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> and <math>3</math>, the argument <math>\alpha</math> assumes the four different values
+
Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math> nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an
-
{{Displayed math||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>and<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,.</math>}}
-
and for other values of <math>n</math> we obtain values of <math>\alpha</math> which are equal to those above, apart from multiples of <math>2\pi</math>. Thus, we have four solutions,
+
Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen
-
{{Displayed math||<math>w=\left\{\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
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-1+i\,,&\\[5pt]
-1+i\,,&\\[5pt]
-1-i\,,&\\[5pt]
-1-i\,,&\\[5pt]
-
1-i\,\textrm{,}
+
1-i\,\textrm{.}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
and the original variable z is
+
Die Lösungen für z sind
-
{{Displayed math||<math>z=\left\{\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
&2+i\,,\\[5pt]
&2+i\,,\\[5pt]
&i\,,\\[5pt]
&i\,,\\[5pt]

Aktuelle Version

Lösen wir die Gleichung für w=z−1 haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

w4=−4

Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.

w−4=r(cos+isin)=4(cos+isin)

und wir erhalten die Gleichung

r4(cos4+isin4)=4(cos+isin).

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten

r44=4=+2n(n ist eine beliebige ganze Zahl) 

und erhalten

r=44=2=4+2n(n ist eine beliebige ganze Zahl).

Für n=01, 2 und 3 nimmt das Argument verschiedene Werte an

4, 43, 45und47

Während wir für andere n dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von 2 unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

w=2cos4+isin42cos43+isin432cos45+isin452cos47+isin47=1+i−1+i−1−i1−i.

Die Lösungen für z sind

z=2+ii−i2−i.
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