Processing Math: 59%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

2.3 Partielle Integration

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Ny sida: __NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Mall:Vald flik|[[2.3 Partiell integrering|T...)
Zeile 6: Zeile 6:
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
 +
 +
{{Info|
 +
'''Innehåll:'''
 +
* Partiell integration
 +
}}
 +
 +
{{Info|
 +
'''Lärandemål:'''
 +
 +
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
 +
 +
* Förstå härledningen av formeln för partiell integration.
 +
* Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration i ett eller två steg.
 +
* Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration följt av en substitution (eller tvärt om).
 +
}}
 +
 +
== Partiell integration ==
 +
 +
Vid integrering av produkter kan man ibland använda sig av en metod som kallas ''partiell integration''. Metoden bygger på att man använder deriveringsregeln för produkter baklänges. Om <math>f</math> och <math>g</math> är två deriverbara funktioner så gäller enligt produktregeln att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>D\,(\,f\cdot g) = f^{\,\prime} \cdot g + f \cdot g'\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Om man nu integrerar båda leden får man
 +
 +
{{Fristående formel||<math>f \cdot g = \int (\,f^{\,\prime} \cdot g + f \cdot g'\,)\,dx = \int f^{\,\prime} \cdot g\,dx + \int f\cdot g'\,dx</math>}}
 +
 +
eller efter ommöblering
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int f^{\,\prime} \cdot g\,dx = f \cdot g - \int f \cdot g'\,dx\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Detta ger oss formeln för partiell integration.
 +
 +
<div class="regel">
 +
'''Partiell integration:'''
 +
{{Fristående formel||<math>\int f(x)\cdot g(x)\,dx = F(x) \cdot g(x) - \int F(x) \cdot g'(x)\,dx\,\mbox{.}</math>}}
 +
</div>
 +
 +
Detta innebär i praktiken att man integrerar en produkt av funktioner genom att kalla den ena faktorn <math>f</math> och den andra <math>g</math>, varefter man byter ut integralen <math>\,\int f \cdot g\,dx\ </math> mot den förhoppningsvis enklare integralen <math>\,\int F \cdot g'\,dx\,\mbox{,}\ </math> där <math>F</math> är en primitiv funktion till <math>f</math> och <math>g'</math> är derivatan av <math>g</math>.
 +
 +
 +
Det är viktigt att påpeka att metoden inte alltid leder till en integral som är lättare än den ursprungliga. Det kan också vara helt avgörande hur man väljer funktionerna <math>f</math> och <math>g</math>, vilket följande exempel visar.
 +
 +
 +
Betrakta integralen <math>\,\int x \cdot \sin x \, dx\,</math>. Om man väljer <math>f=x</math> och <math>g=\sin x</math> får man <math>F=x^2/2</math> och <math>g'=\cos x</math>, och enligt formeln för partiell integration
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int x \cdot \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \cdot \sin x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Den nya integralen i högerledet är i detta fall inte enklare än den ursprungliga integralen.
 +
 +
Om man i stället väljer <math>f=\sin x</math> och <math>g=x</math> får man <math>F=-\cos x</math> och <math>g'=1</math>, och
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int x \cdot \sin x \, dx = - x \cdot \cos x - \int - 1 \cdot \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 1'''
 +
 +
Bestäm integralen <math>\ \int x^2 \cdot \ln x \, dx\,</math>.
 +
<br>
 +
<br>
 +
Sätt <math>f=x^2</math> och <math>g=\ln x</math> eftersom då deriverar vi bort logaritmfunktionen när vi utför en partiell integrering: <math>F=x^3/3</math> och <math>g'=1/x</math>. Detta ger oss alltså att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int x^2 \cdot \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 2'''
 +
 +
Bestäm integralen <math>\ \int x^2 e^x \, dx\,</math>.
 +
<br>
 +
<br>
 +
Sätt <math>f=e^x</math> och <math>g=x^2</math>, vilket ger att <math>F=e^x</math> och <math>g'=2x</math>, och en partiell integrering ger att
 +
 +
{{Fristående formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Här krävs ytterligare partiell integration för att lösa den nya integralen <math>\,\int 2x\,e^x \, dx</math>. Vi väljer i detta fall <math>f=e^x</math> och <math>g=2x</math>, vilket ger att <math>F=e^x</math> och <math>g'=2</math>
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Den ursprungliga integralen blir alltså
 +
 +
{{Fristående formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 3'''
 +
 +
Bestäm integralen <math>\ \int e^x \cos x \, dx\,</math>.
 +
<br>
 +
<br>
 +
I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn <math>e^x</math> och derivera faktorn <math>\cos x</math>
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cdot \cos x - \int e^x \cdot(-\sin x) \, dx\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Resultatet blev att vi väsentligen bytte ut faktorn <math>\cos x</math> mot <math>\sin x</math> i integralen. Om vi därför partialintegrerar en gång till (integrera <math>e^x</math> och derivera <math>\sin x</math>) då får vi att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Den ursprungliga integralen dyker här alltså upp igen. Vi får sammantaget:
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx</math>}}
 +
 +
och samlar vi integralerna i ena ledet fås att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Trots att de partiella integrationerna i detta fall inte ledde till någon enklare integral kom vi alltså fram till en ekvation där den ursprungliga integralen kunde ”lösas ut”. Detta är inte helt ovanligt när integranden är en produkt av trigonometriska funktioner och/eller exponentialfunktioner.
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 4'''
 +
 +
Beräkna integralen <math>\ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,</math>.
 +
<br>
 +
<br>
 +
Integralen kan skrivas om som
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Sätt nu <math>f=e^{-x}</math> och <math>g=2x</math>, och partialintegrera
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x}\,dx\\[4pt] &= \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= (-2 \cdot e^{-1}) - 0 + (- 2\cdot e^{-1}) - (-2)\\[4pt] &= - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 5'''
 +
 +
Beräkna integralen <math>\ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,</math>.
 +
<br>
 +
<br>
 +
Vi utför först en variabelsubstitution <math>u=\sqrt{x}</math> vilket ger att <math>du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u</math>, dvs., <math>dx = 2u\,du\,</math>,
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \cdot 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Sedan partialintegrerar vi. Sätt <math>f=2u</math> och <math>g=\ln u</math>, vilket ger att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int \ln u \cdot 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \cdot \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
''Anm.'' Ett alternativt tillvägagångssätt är att skriva om den ursprungliga integranden som <math>\ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x</math> och sedan partialintegrera produkten <math>\tfrac{1}{2}\cdot\ln x</math>.
 +
 +
</div>

Version vom 12:56, 7. Apr. 2008

 

Vorlage:Mall:Vald flik Vorlage:Mall:Ej vald flik

 

Innehåll:

  • Partiell integration

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Förstå härledningen av formeln för partiell integration.
  • Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration i ett eller två steg.
  • Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration följt av en substitution (eller tvärt om).

Partiell integration

Vid integrering av produkter kan man ibland använda sig av en metod som kallas partiell integration. Metoden bygger på att man använder deriveringsregeln för produkter baklänges. Om f och g är två deriverbara funktioner så gäller enligt produktregeln att

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Om man nu integrerar båda leden får man

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

eller efter ommöblering

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Detta ger oss formeln för partiell integration.

Partiell integration:

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Detta innebär i praktiken att man integrerar en produkt av funktioner genom att kalla den ena faktorn f och den andra g, varefter man byter ut integralen fgdx   mot den förhoppningsvis enklare integralen Fgdx,   där F är en primitiv funktion till f och g är derivatan av g.


Det är viktigt att påpeka att metoden inte alltid leder till en integral som är lättare än den ursprungliga. Det kan också vara helt avgörande hur man väljer funktionerna f och g, vilket följande exempel visar.


Betrakta integralen xsinxdx . Om man väljer f=x och g=sinx får man F=x22 och g=cosx, och enligt formeln för partiell integration

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Den nya integralen i högerledet är i detta fall inte enklare än den ursprungliga integralen.

Om man i stället väljer f=sinx och g=x får man F=−cosx och g=1, och

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel


Exempel 1

Bestäm integralen  x2lnxdx .

Sätt f=x2 och g=lnx eftersom då deriverar vi bort logaritmfunktionen när vi utför en partiell integrering: F=x33 och g=1x. Detta ger oss alltså att

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Exempel 2

Bestäm integralen  x2exdx .

Sätt f=ex och g=x2, vilket ger att F=ex och g=2x, och en partiell integrering ger att

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Här krävs ytterligare partiell integration för att lösa den nya integralen 2xexdx . Vi väljer i detta fall \displaystyle f=e^x och \displaystyle g=2x, vilket ger att \displaystyle F=e^x och \displaystyle g'=2

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Den ursprungliga integralen blir alltså

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Exempel 3

Bestäm integralen \displaystyle \ \int e^x \cos x \, dx\,.

I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn \displaystyle e^x och derivera faktorn \displaystyle \cos x

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Resultatet blev att vi väsentligen bytte ut faktorn \displaystyle \cos x mot \displaystyle \sin x i integralen. Om vi därför partialintegrerar en gång till (integrera \displaystyle e^x och derivera \displaystyle \sin x) då får vi att

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Den ursprungliga integralen dyker här alltså upp igen. Vi får sammantaget:

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

och samlar vi integralerna i ena ledet fås att

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Trots att de partiella integrationerna i detta fall inte ledde till någon enklare integral kom vi alltså fram till en ekvation där den ursprungliga integralen kunde ”lösas ut”. Detta är inte helt ovanligt när integranden är en produkt av trigonometriska funktioner och/eller exponentialfunktioner.

Exempel 4

Beräkna integralen \displaystyle \ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,.

Integralen kan skrivas om som

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Sätt nu \displaystyle f=e^{-x} och \displaystyle g=2x, och partialintegrera

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Exempel 5

Beräkna integralen \displaystyle \ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,.

Vi utför först en variabelsubstitution \displaystyle u=\sqrt{x} vilket ger att \displaystyle du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u, dvs., \displaystyle dx = 2u\,du\,,

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Sedan partialintegrerar vi. Sätt \displaystyle f=2u och \displaystyle g=\ln u, vilket ger att

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Anm. Ett alternativt tillvägagångssätt är att skriva om den ursprungliga integranden som \displaystyle \ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x och sedan partialintegrera produkten \displaystyle \tfrac{1}{2}\cdot\ln x.

Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/2.3_Partielle_Integration“