Processing Math: 77%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

2.2 Integration durch Substitution

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K
K (Regenerate images and tabs)
Zeile 2: Zeile 2:
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
-
{{Mall:Vald flik|[[2.2 Variabelsubstitution|Teori]]}}
+
{{Vald flik|[[2.2 Variabelsubstitution|Teori]]}}
-
{{Mall:Ej vald flik|[[2.2 Övningar|Övningar]]}}
+
{{Ej vald flik|[[2.2 Övningar|Övningar]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}

Version vom 17:04, 13. Jun. 2008

 
  1. REDIRECT Template:Gewählter Tab
  2. REDIRECT Template:Nicht gewählter Tab
 

Innehåll:

  • Variabelsubstitution

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Förstå härledningen av formeln för variabelsubstitution.
  • Lösa enklare integrationsproblem som kräver omskrivning och/eller substitution i ett steg.
  • Veta hur integrationsgränserna ändras under variabelsubstitution.
  • Veta när en variabelsubstitution är tillåten.

Variabelsubstitution

När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är variabelsubstitution, vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner — den s.k. kedjeregeln.

Kedjeregeln  ddxf(u(x))=f(u(x))u(x)  kan i integralform skrivas

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

eller,

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

där F är en primitiv funktion till f. Jämför vi denna formel med

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

så kan vi se det som att vi ersätter uttrycket u(x) med variabeln u och u(x)dx med du. Man kan alltså omvandla den krångligare integranden f(u(x))u(x) (med x som variabel) med den förhoppningsvis enklare f(u) (med u som variabel). Metoden kallas variabelsubstitution och kan användas när integranden kan skrivas på formen f(u(x))u(x).


Anm. 1 Metoden bygger naturligtvis på att alla förutsättningar för integrering är uppfyllda; att u(x) är deriverbar i det aktuella intervallet, samt att f är kontinuerlig i värdemängden till u, dvs. för alla värden som u kan anta i intervallet.


Anm. 2 Att ersätta u(x)dx med du kan också motiveras genom att studera övergången från differenskvot till derivata:

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

vilket när x går mot noll kan betraktas som en formell gränsövergång

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

dvs., en liten ändring, dx, i variabeln x ger upphov till en ungefärlig ändring u(x)dx i variabeln u.


Exempel 1

Bestäm integralen  2xex2dx .

Om man sätter u(x)=x2, så blir u(x)=2x. Vid variabelbytet ersätts då ex2 med eu och u(x)dx, dvs. 2xdx, med du

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Exempel 2

Bestäm integralen  (x3+1)3x2dx .

Sätt u=x3+1. Då blir u=3x2, eller du=3x2dx, och

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Exempel 3

Bestäm integralen  tanxdx,    där −2x2.

Efter en omskrivning av tanx som sinxcosx substituerar vi u=cosx,

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel


Integrationsgränser vid variabelbyte

Vid beräkning av bestämda integraler, t.ex. en area, där man använder variabelsubstitution kan man gå till väga på två sätt. Antingen beräknar man integralen som vanligt, byter tillbaka till den ursprungliga variabeln och sätter in de ursprungliga integrationsgränserna. Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet. De båda metoderna illustreras i följande exempel.


Exempel 4

Beräkna integralen  02ex1+exdx .


Metod 1

Sätt u=ex vilket ger att u=ex och du=exdx

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Observera att integrationsgränserna måste skrivas x=0 och x=2 när integrationsvariabeln inte är x. Det vore fel att skriva

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel


Metod 2

Sätt u=ex vilket ger att u=ex och du=exdx. Integrationsgränsen \displaystyle x=0 motsvaras då av \displaystyle u=e^0 = 1 och \displaystyle x=2 motsvaras av \displaystyle u=e^2

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Exempel 5

Beräkna integralen \displaystyle \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx.

Substitutionen \displaystyle u=\sin x ger att \displaystyle du=\cos x\,dx och integrationsgränserna förändras till \displaystyle u=\sin 0=0 och \displaystyle u=\sin(\pi/2)=1. Integralen blir

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel


2.2 - Figur - Area under y = sin³x cos x resp. y = u³
Figuren till vänster visar grafen till integranden sin³x cos x och figuren till höger grafen till integranden u³ som fås efter variabelsubstitutionen. Vid variabelbytet ändras integranden och integrationsintervallet. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.

Exempel 6

Betrakta beräkningen

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på att \displaystyle f(u)=1/u^2 inte är kontinuerlig i hela intervallet \displaystyle [-1,1].

Villkoret att \displaystyle f(u(x)) ska vara definierad och kontinuerlig för alla värden som \displaystyle u(x) kan anta i det aktuella intervallet behövs om man vill vara säker på att substitutionen \displaystyle u=u(x) ska fungera.

2.2 - Figur - Grafen till f(u) = 1/u²
Grafen till f(u) = 1/u²
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/2.2_Integration_durch_Substitution“