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Lösung 3.1:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{NAVCONTENT_START}}
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Subtrahieren wir <math>2z</math> von beiden Seiten,
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If we subtract <math>2z</math> from both sides,
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{{Abgesetzte Formel||<math>iz+2-2z=-3</math>}}
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<math>iz+2-2z=-3</math>
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und subtrahieren danach <math>2</math> von beiden Seiten, haben wir nur noch <math>z</math>-Terme auf der linken Seite,
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{{Abgesetzte Formel||<math>iz-2z=-3-2\,\textrm{.}</math>}}
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and then subtract <math>2</math> from both sides, we have <math>z</math> terms left only on the left-hand side,
+
Ziehen wir den Faktor <math>z</math> von der lunken Seite herauf, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>(i-2)z=-5\,,</math>}}
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<math>iz-2z=-3-2</math>
+
und dividieren wir beide Seiten durch <math>-2+i</math> erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
z &= \frac{-5}{-2+i}
 +
= \frac{-5(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)}
 +
= \frac{(-5)\cdot(-2)-5\cdot(-i)}{(-2)^2-i^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{10+5i}{4+1}
 +
= \frac{10+5i}{5}
 +
= 2+i\,\textrm{.}\end{align}</math>}}
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After taking out a factor <math>z</math> from the left-hand side,
+
Wir kontrollieren zur Sicherheit ob <math>z=2+i</math> auch wirklich die Gleichung erfüllt
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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<math>(i-2)z=-5</math>
+
\text{Linke Seite} &= iz+2 = i(2+i)+2 = 2i-1+2 = 1+2i\,,\\[5pt]
-
 
+
\text{Rechte Seite} &= 2z-3 = 2(2+i)-3 = 4+2i-3 = 1+2i\,\textrm{.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
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we obtain, after dividing by <math>-2+i</math>,
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-
 
+
-
 
+
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<math>\begin{align}z&=\frac{-5}{-2+i}=\frac{-5(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)}=\frac{(-5)\cdot(-2)-5\cdot(-i)}{(-2)^2-i^2}\\
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&=\frac{10+5i}{4+1}=\frac{10+5i}{5}=2+i.\end{align}</math>
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A quick check shows that <math>z=2+i</math> satisfies the original equation
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<math>\begin{align}LHS &= iz+2=i(2+i)+2=2i-1+2=1+2i\\
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RHS &= 2z-3 = 2(2+i)-3=4+2i-3=1+2i.\end{align}</math>
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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Aktuelle Version

Subtrahieren wir 2z von beiden Seiten,

iz+2−2z=−3

und subtrahieren danach 2 von beiden Seiten, haben wir nur noch z-Terme auf der linken Seite,

iz−2z=−3−2.

Ziehen wir den Faktor z von der lunken Seite herauf, erhalten wir

(i−2)z=−5

und dividieren wir beide Seiten durch −2+i erhalten wir

z=−5−2+i=−5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=(−2)2−i2(−5)(−2)−5(−i)=4+110+5i=510+5i=2+i.

Wir kontrollieren zur Sicherheit ob z=2+i auch wirklich die Gleichung erfüllt

Linke SeiteRechte Seite=iz+2=i(2+i)+2=2i−1+2=1+2i=2z−3=2(2+i)−3=4+2i−3=1+2i.
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