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2.1 Einführung zur Integralrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Version vom 15:38, 22. Aug. 2009

Theorie

Übungen

Inhalt:

Die Definition des Integrals.
Das Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen.
Stammfunktionen für x, 1x, ex, cosx und sinx.
Stammfunktionen für Summen und Differenzen von Funktionen.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

Wie man Integrale als Flächen interpretiert.
Es gibt andere Interpretationen des Integrals wie Dichte/Masse, Geschwindigkeit/Strecke, Kraft/Energie, etc.
Wie man Stammfunktionen für x, 1x, ekx, coskx, sinkx und Summen/Differenzen von solchen Termen bestimmt.
Wie man die Fläche unter einer Funktion berechnet.
Wie man die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnet.
Nicht alle Funktionen haben eine analytische Stammfunktion wie zum Beispiel ex2, (sinx)x, sinsinx, etc.

A - Die Fläche unter einer Funktion

Wir haben im vorigen Abschnitt die Ableitung von Funktionen studiert und viele interessante Eigenschaften der Ableitung gefunden. In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass die Fläche zwischen der x-Achse und einer Funktion viele wichtige Eigenschaften und Anwendungen hat.

Wenn wir zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Objektes in einen v-t-Graph einzeichnen, können wir die drei unten dargestellten Fälle erhalten:


	Das Objekt bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit 5.		Das Objekt bewegt sich zuerst mit der Geschwindigkeit 4 bis zur Zeit t = 3, wo es plötzlich die Geschwindigkeit 6 erhält.		Die Geschwindigkeit wächst linear.

Die vom Objekt zurückgelegte Strecke ist in den drei Fällen:

s(6)=5

6=30m

s(6)=4

3+6

3=30m

s(6)=26

6=18m.

In allen drei Fällen sehen wir, dass die zurückgelegte Strecke der Fläche unter dem Graph der Funktion entspricht.

Hier werden noch einige Beispiele gezeigt, was die Fläche unter einem Graph bedeuten kann.

Beispiel 1


	Eine Solarzelle mit der Leistung p liefert die Energie, die proportional zur Fläche unter dem Graph ist.		Die Kraft F die entlang einer Strecke wirkt, leistet die Arbeit, die proportional zur Fläche unter dem Graph ist.		Ein Kondensator, der mit dem Strom i geladen wird, enthält eine Ladung, die proportional zur Fläche unter dem Graph ist.

B - Die Bezeichnung des Integrals

Um die Fläche unter einer Funktion zu beschreiben, verwendet man das Integralzeichen :

Das Integral einer positiven Funktion f(x) von a bis b ist dasselbe wie die Fläche zwischen der Kurve y=f(x) und der x-Achse und zwischen zwei Vertikalen den Geraden x=a und x=b, und wird wie folgt geschrieben:

abf(x)dx.

Die Zahlen a und b nennt man Integrationsgrenzen. Die Funktion f(x) nennt man Integrand und x nennt man die Integrationsvariable.

Beispiel 2

Die Fläche unter der Kurve y=f(x) von x=a bis x=c ist gleich groß wie die Fläche von x=a bis x=b plus die Fläche von x=b bis x=c. Dies bedeutet, dass

abf(x)dx+

bcf(x)dx=

acf(x)dx.

[Image]

Beispiel 3

Wenn für einen Gegenstand die Geschwindigkeit v(t) auf der rechten Seite des Graphen liegt, hat er nach der Zeit 10 s die Strecke zurück gelegt, die gleich ist zu der Fläche unter dem Graphen, also das Integral des Graphen.

s(10)=

010v(t)dt.

Hinweis: Wir nehmen hier an, dass Geschwindigkeit und Strecke mit derselben Längeneinheit gemessen werden.

[Image]

Beispiel 4

Wasser fließt in einen Tank mit der Geschwindigkeit f(t) Liter/s zur Zeit t. Das Integral

910f(t)dt

beschreibt, wie viel Wasser während der Zehntelsekunde in den Tank fließt.

Beispiel 5 Berechnen Sie das Integral

043dx .

Das Integral ist dasselbe wie die Fläche unter der Kurve (Gerade) y=3 von x=0 bis x=4, also ein Rechteck mit der Basis 4 und der Höhe 3,
043dx=43=12.

[Image]

25x2−1dx .

Das Integral ist die Fläche unter der Kurve y=x2−1 von x=2 bis x=5, also ein Dreieck mit der Basis 3 und der Höhe 1.5
25x2−1dx=231.5=2.25.

[Image]

0akxdx wobei k0.

Das Integral ist die Fläche unter der Geraden y=kx, von x=0 bis x=a und daher ein Dreieck mit der Basis a und der Höhe ka
0akxdx=2aka=2ka2.

[Image]

C - Stammfunktionen und unbestimmte Integrale

Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f falls F(x)=f(x) in einen bestimmten Intervall. Falls F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, ist es leicht zu sehen, dass auch F(x)+C eine Stammfunktion ist für eine beliebige Konstante C. Man kann auch zeigen, dass die Funktion F(x)+C alle möglichen Stammfunktionen von f(x) bezeichnet. Dieser Ausdruck wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und man schreibt

f(x)dx.

Beispiel 6

F(x)=x3+cosx−5 ist die Stammfunktion von f(x)=3x2−sinx, nachdem

F(x)=D(x3+cosx−5)=3x2−sinx−0=f(x).
G(t)=e3t+1+lnt ist die Stammfunktion von g(t)=3e3t+1+1t, nachdem

G(t)=De3t+1+lnt=e3t+13+t1=g(t).
F(x)=41x4−x+C ist eine Stammfunktion von f(x)=x3−1, wo C eine beliebige Konstante ist, nachdem

F(x)=D(41x4−x+C)=x3−1=f(x).

D - Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen

Wir wissen bereits, dass die Fläche unter einer Funktion dem Integral der Funktion entspricht.

Wir nehmen an, dass f kontinuierlich in einem Intervall ist. Der Wert des Integrals abf(x)dx hängt dann von den Integrationsgrenzen a und b ab. Lassen wir aber die obere Grenze frei sein, sodass sie x statt b ist, wird das Integral eine Funktion von x sein. Um dies deutlicher zu machen verwenden wir die Integrationsvariable t statt x:

[Image]

A(x)=

axf(t)dt.

Wir werden jetzt zeigen, dass A die Stammfunktion von f ist.

[Image]

Die gesamte Fläche under der Kurve von t=a bis t=x+h ist A(x+h) und ist ungefähr t=x plus die Fläche des Rechtecks zwischen t=x und t=x+h, also

A(x+h)

A(x)+hf(c)

wo c eine Zahl zwischen x und x+h ist. Wir können den Ausdruck als

hA(x+h)−A(x)=f(c).

schreiben. Lassen wir h0, bekommen wir auf der linken Seite A(x), und die rechte Seite wird f(x) und daher ist

(x)=f(x).

Also ist die Funktion A(x) eine Stammfunktion von f(x).

E - Integrale berechnen

Um mit Hilfe der Stammfunktionen das Integral zu berechnen, notieren wir zuerst, dass, wenn F eine Stammfunktion von f ist, ist

abf(t)dt=F(b)+C

wobei die Konstante C so gewählt werden muss, dass die rechte Seite null ist, wenn b=a und die linke Seite daher auch null ist. Also ist

aaf(t)dt=F(a)+C=0

und wir erhalten C=−F(a). Wenn wir zusammenfassen, ergibt sich, dass

abf(t)dt=F(b)−F(a).

Wir können natürlich hier die Integrationsvariable x wählen und erhalten dann

abf(x)dx=F(b)−F(a).

Die Berechnung von Integralen erfolgt in zwei Schritten. Zuerst berechnet man die Stammfunktion und dann berechnet man den Wert der Stammfunktion in den Integrationsgrenzen. Man schreibt gewöhnlich

abf(x)dx=

F(x)

ba=F(b)−F(a).

Beispiel 7

Die Fläche zwischen der Funktion y=2x−x2 und der x-Achse kann durch den Integral

02(2x−x2)dx

berechnet werden. Nachdem x2−x33 die Stammfunktion des Integranden ist, ist der Integral

02(2x−x2)dx=

x2−31x3

20=

22−3123

−

02−3103

=4−38=34.

Die Fläche ist also 34

[Image]

Hinweis: Das Integral hat keine Einheit, aber die Fläche kann eine Einheit haben.

F - Stammfunktionen

Um häufige Funktionen abzuleiten, gibt es generelle Ableitungsregeln. Die umgekehrte Rechenoperation durchzuführen ist aber viel komplizierter, nachdem es keine generellen Regeln für die Stammfunktionen gibt. In manchen Fällen kann man aber die Stammfunktionen bestimmen, indem man die Ableitung rückwärts ausführt.

Mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln erhalten wir folgende Stammfunktionen,

xndx

x−1dx

exdx

cosxdx

sinxdx=xn+1n+1+Cwobei n

=−1=ln

+C=ex+C=sinx+C=−cosx+C

Beispiel 8

(x4−2x3+4x−7)dx=5x5−42x4+24x2−7x+C
=5x5−2x4+2x2−7x+C
3x2−12x3dx=3x−2−21x−3dx=−13x−1−21x−2(−2)+C
=−3x−1+41x−2+C=−x3+14x2+C
23xdx=32x1dx=32lnx+C
(ex−cosx−sinx)dx=ex−sinx+cosx+C

G - Für die innere Ableitung kompensieren

Wenn man eine verkettete Funktion ableitet, benutzt man die Kettenregel. Dies bedeutet, dass man die äußere Ableitung der Funktion mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert. Falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist, ist die innere Ableitung eine Konstante. Wenn wir die Ableitung einer solchen Funktion integrieren möchten, können wir einfach die Stammfunktion durch die innere Ableitung dividieren, um die innere Ableitung zu kompensieren.

Beispiel 9

e3xdx=3e3x+C
sin5xdx=−5cos5x+C
(2x+1)4dx=52(2x+1)5+C=10(2x+1)5+C

Beispiel 10

sinkxdx=−kcoskx+C
coskxdx=ksinkx+C
ekxdx=kekx+C

Diese Methode funktioniert also nur dann, wenn die innere Ableitung eine Konstante ist.

H - Integrationsregeln

Durch die Definition des Integrals, kann man einfach zeigen, dass:

baf(x)dx=−abf(x)dx,
abf(x)dx+abg(x)dx=ab(f(x)+g(x))dx,
abkf(x)dx=kabf(x)dx,
abf(x)dx+bcf(x)dx=acf(x)dx.

Außerdem haben Integrale, wo die Funktion negativ ist, ein negatives Vorzeichen, sind aber ansonsten gleich:

A1A2=

abf(x)dx

=−

bcf(x)dx.

[Image]

Die gesamte Fläche ist A1+A2=abf(x)dx−bcf(x)dx .

Hinweis: Der Wert eines Integrals kann sehr wohl negativ sein, nur die Fläche ist immer positiv.

Beispiel 11

12(x3−3x2+2x+1)dx+

122dx=

12(x3−3x2+2x+1+2)dx
=

41x4−x3+x2+3x

21
=

24−23+22+3

−

14−13+12+3

\displaystyle \qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}

[Image]

Das linke Bild zeigt die Fläche unter der Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1. Das mittlere Bild zeigt die Fläche unter der Funktion g(x) = 2. Das rechte Bild zeigt die Fläche unter der Summe der beiden Funktionen, also f(x) + g(x).

\displaystyle \int_{1}^{3} (x^2/2 - 2x) \, dx + \int_{1}^{3} (2x - x^2/2 + 3/2) \, dx = \int_{1}^{3} 3/2 \, dx
\displaystyle \qquad{} = \Bigl[\,\tfrac{3}{2}x\,\Bigr]_{1}^{3} = \tfrac{3}{2}\cdot 3 - \tfrac{3}{2}\cdot 1 = 3

[Image]

Die Funktion f(x) = x²/2 - 2x (siehe linkes Bild) und die Funktion g(x) = 2x - x²/2 + 3/2 (siehe mittleres Bild) sind Spiegelungen voneinander in der Geraden y = 3/4.

Also ist die Summe f(x) + g(x) = 3/2, also eine Konstante. Daher ist das Integral der Summe ein Rechteck mit der Basis 2 und der Höhe 3/2 (siehe rechtes Bild).

\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \frac{2x^2 - 1}{x} \, dx \vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \qquad{}= \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \Bigl(2x - \frac{1}{x}\Bigr) \, dx = \frac{2}{3} \Bigl[\,x^2 - \ln x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \qquad{}= \frac {2}{3}\Bigl((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)\Bigr) = \tfrac{2}{3}(3 - \ln 2) = 2 - \tfrac{2}{3}\ln 2

\displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \Bigl[\,\frac{x^3}{3} - x\,\Bigl]_{-1}^{2} = \bigl(\tfrac{8}{3} - 2\bigr) - \bigl(\tfrac{-1}{3} + 1 \bigr) = 0

Die Figur zeigt die Funktion f(x) = x² - 1 und die Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen.

I - Die Fläche zwischen Funktionen

Wenn \displaystyle f(x) \ge g(x) in einem Intervall \displaystyle a\le x\le b ist, ist die Fläche zwischen den beiden Funktionen in diesem Intervall

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx

- \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}

oder vereinfacht

\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\,\mbox{.}

[Image]

Wenn f(x) und g(x) beide positiv sind und f(x) größer ist als g(x), ist die Fläche zwischen f und g (siehe linkes Bild), der Unterschied in Fläche von den Flächen unter den Funktionen f (siehe mittleres Bild) und g (siehe rechtes Bild).

Es ist egal, ob \displaystyle f(x) < 0 oder \displaystyle g(x) < 0 so lange \displaystyle f(x) \ge g(x). Der Wert der Fläche ist unabhängig davon, ob die Funktionen positiv oder negativ sind. Dies wird aus folgenden Bildern ersichtlich:

[Image]

Die Fläche zwischen den beiden Funktionen ändert sich nicht wenn wir beide Funktionen in die y-Richtung verschieben. Die Fläche zwischen den Funktionen f(x) und g(x) ist dasselbe wie die Fläche zwischen den Funktionen f(x) - 3 und g(x) - 3 (siehe mittleres Bild), als auch zwischen den Funktionen f(x) - 6 und g(x) - 6 (siehe rechtes Bild).

Beispiel 12

Berechne die Fläche zwischen den Kurven \displaystyle y=e^x + 1 und \displaystyle y=1 - x^2/2 und den Geraden \displaystyle x = –1 und \displaystyle x = 1.

Nachdem \displaystyle e^x + 1 > 1 - x^2/2 im ganzen Intervall ist, ist die Fläche:

\displaystyle \begin{align*} &\int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \int_{-1}^{1} \Bigl( 1- \frac{x^2}{2}\Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \int_{-1}^{1} \Bigl( e^x + \frac{x^2}{2} \Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl[\,e^x + \frac{x^3}{6}\,\Bigr]_{-1}^{1} \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl( e^1 + \frac{1^3}{6} \Bigr) - \Bigl( e^{-1} + \frac{(-1)^3}{6} \Bigr)\vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= e - \frac{1}{e} + \frac{1}{3} \ \end{align*}

[Image]

Beispiel 13

Berechne die Fläche des endlichen Gebietes zwischen den Funktionen \displaystyle y= x^2 und \displaystyle y= \sqrt[\scriptstyle 3]{x}.

Die Schnittpunkte der Kurven erhalten wir, wenn deren y-Werte gleich sind,

\displaystyle \begin{align*} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{oder}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align*}

Zwischen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=1, \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2 ist die Fläche zwischen den Funktionen

\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx &= \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1}\\

&{}= \Bigl[\,\frac{3x^{4/3}}{4} - \frac{x^3}{3}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &{}= \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{3} - (0-0)\\[4pt] &{}= \tfrac{5}{12}\ \end{align*}

[Image]

Beispiel 14

Berechne die Fläche des begrenzten Gebietes zwischen den Funktionen \displaystyle y=\frac{1}{x^2}, \displaystyle y=x und \displaystyle y = 2.

In der Figur sehen wir, dass die Funktionen unser Gebiet in zwei Teilgebiete aufteilen. Die Fläche des gesamten Gebiets ist die Summe der Flächen der beiden Teilgebiete,

\displaystyle A_1 = \int_{a}^{\,b} (2 - \frac{1}{x^2}) \, dx

\quad\text{und}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}

Wir suchen zuerst die Schnittstellen \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=c:

[Image]

Die Schnittstelle \displaystyle x=a erhalten wir durch die Gleichung

\displaystyle \frac{1}{x^2} = 2

\quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}

(Die negative Wurzel ist für uns uninteressant.)

Die Schnittstelle \displaystyle x=b erhalten wir durch die Gleichung

\displaystyle \frac{1}{x^2} = x

\quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}

Die Schnittstelle \displaystyle x=c erhalten wir durch die Gleichung \displaystyle x = 2.

Das Integral ist also

\displaystyle \begin{align*} A_1 &= \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \Bigl(2 - \frac{1}{x^2}\Bigr) \, dx = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \bigl(2 - x ^{-2}\bigr) \, dx = \Bigl[\,2x-\frac{x^{-1}}{-1}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1}\\[4pt] &= \Bigl[\,2x + \frac{1}{x}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} = (2+ 1) - \Bigl( \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\,\Bigr) = 3 - 2\sqrt{2}\,\mbox{,}\\[4pt] A_2 &= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \Bigl[\,2x - \frac{x^2}{2}\,\Bigr]_{1}^{2} = (4-2) - \Bigl(2- \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\mbox{}

\end{align*}

und die Fläche ist

\displaystyle A_1 + A_2 = 3 - 2\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2} - 2\sqrt{2}\ .

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2.1 Einführung zur Integralrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 15:38, 22. Aug. 2009

A - Die Fläche unter einer Funktion

B - Die Bezeichnung des Integrals

C - Stammfunktionen und unbestimmte Integrale

D - Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen

E - Integrale berechnen

F - Stammfunktionen

G - Für die innere Ableitung kompensieren

H - Integrationsregeln

I - Die Fläche zwischen Funktionen