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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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	&= -\bigl(x^2 - 2x- 2\bigr)\\[5pt]		&= -\bigl(x^2 - 2x- 2\bigr)\\[5pt]
	&= -\bigl((x-1)^2 - 1^2 - 2\bigr)\\[5pt]		&= -\bigl((x-1)^2 - 1^2 - 2\bigr)\\[5pt]
-	&= -(x-1)^2 + 3	+	&= -(x-1)^2 + 3 \textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
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	[[Image:2_1_4_b.gif|center]]		[[Image:2_1_4_b.gif|center]]
-	die Fläche die wir bestimmen sollen, ist im Bild schrafiert.	+	Die Fläche, die wir bestimmen sollen, ist im Bild schraffiert.
	Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral		Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral
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	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,</math>}}
-	Wo ''a'' und ''b'' die Schnittstellen von der Parabel und der ''x''-Achse sind, also die Wurzeln von	+	wobei ''a'' und ''b'' die Schnittstellen der Parabel und der ''x''-Achse sind, also die Wurzeln von
	{{Abgesetzte Formel||<math>0=-x^{2}+2x+2</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>0=-x^{2}+2x+2</math>}}
-	oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben),	+	oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben)
-	{{Abgesetzte Formel||<math>0=-(x-1)^2+3</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>0=-(x-1)^2+3 \textrm{,}</math>}}
	also		also
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	So erhalten wir die Stammfunktion		So erhalten wir die Stammfunktion
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,</math>.}}
-	und daher	+	Daraus folgt
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

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Aktuelle Version

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

y=−x2+2x+2=−x2−2x−2=−(x−1)2−12−2=−(x−1)2+3.

Wir sehen, dass die Funktion eine Parabel mit dem Maximum y=3 bei x=1 ist.

Die Fläche, die wir bestimmen sollen, ist im Bild schraffiert.

Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral

Fläche=ba−x2+2x+2dx

wobei a und b die Schnittstellen der Parabel und der x-Achse sind, also die Wurzeln von

0=−x2+2x+2

oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben)

0=−(x−1)2+3,

also

(x−1)2=3.

Die Gleichung hat also die Wurzeln x=13   , x=1−3  und x=1+3  .

Die Fläche ist also

Fläche=1+31−3−x2+2x+2dx.

Wir schreiben hier den Integranden in die quadratisch ergänzte Form.

Fläche=1+31−3−(x−1)2+3dx

So erhalten wir die Stammfunktion

Fläche= −3(x−1)3+3x 1+31−3 .

Daraus folgt

Fläche=−3(1+3−1)3+3(1+3)−−3(1−3−1)3+3(1−3)=−3(3)3+3+33+3(−3)3−3+33=−3333+33+3(−3)(−3)(−3)+33=−333+33−333+33=−3+33−3+33=(−1+3−1+3)3=43.

Hinweis: Die Rechnungen werden umständlich, wenn wir mit dem Ausdruck

1+31−3−x2+2x+2dx=

rechnen.