Processing Math: 78%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

3.4 Komplexe Polynome

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K
Zeile 123: Zeile 123:
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Faktorsatsen'''
+
'''Faktorsatsen:'''
<math>(x-a)</math> är en delare till polynomet <math>p(x)</math> om och endast om <math>x=a</math> är ett nollställe till <math>p(x)</math>.
<math>(x-a)</math> är en delare till polynomet <math>p(x)</math> om och endast om <math>x=a</math> är ett nollställe till <math>p(x)</math>.

Version vom 14:05, 7. Mai 2008

 

Vorlage:Mall:Vald flik Vorlage:Mall:Ej vald flik

 

Innehåll:

  • Faktorsatsen
  • Polynomdivision
  • Algebrans fundamentalsats

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Utföra polynomdivision.
  • Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom.
  • Veta att en polynomekvation av grad n har n rötter (räknade med multiplicitet).
  • Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter.

Polynom och ekvationer

Ett uttryck på formen

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

där n är ett naturligt tal, kallas ett polynom av grad n i en obestämd variabel x. Talet a1 kallas koefficienten för x, a2 koefficienten för x2, etc. Konstanten a0 kallas konstanttermen.


Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.


Exempel 1


Jämför följande heltal skrivet i basen 10,

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

med ett polynom i x

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

och sedan följande divisioner,

  • 111353=123 eftersom  1353=12311,
  • x+1x3+3x2+5x+3=x2+2x+3 eftersom  x3+3x2+5x+3=(x2+2x+3)(x+1).

Om p(x) är ett polynom av grad n så kallas p(x)=0 en polynomekvation av grad n. Om x=a är ett tal sådant att p(a)=0 så kallas x=a en rot, eller lösning till ekvationen. Man säger också att x=a är ett nollställe till p(x).

Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. 37 divideras med 5, får man

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Uträkningen kan även skrivas  37=75+2. Talet 7 kallas kvot och talet 2 rest. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2.


Om p(x) och q(x) är polynom så kan man på liknande sätt dividera p(x) med q(x) och entydigt bestämma polynom k(x) och r(x) så att

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

eller  p(x)=k(x)q(x)+r(x). Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten k(x) och resten r(x).


Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt: Om r(x)=0 så är p(x) delbart med q(x), eller, q(x) är en delare till p(x). Man skriver

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

eller  p(x)=k(x)q(x).


Polynomdivision

Om p(x) är ett polynom med högre grad än polynomet q(x) så kan man dividera p(x) med q(x). Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multipler av q(x) från p(x) tills den återstående täljaren har lägre grad än q(x) i nämnaren.


Exempel 2


Utför polynomdivisionen  x+2x3+x2−x+4.


Det första steget är att vi lägger till och drar ifrån en lämplig x2-term i täljaren

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Anledningen till att vi gör detta är att nu kan deluttrycket x3+2x2 skrivas som x2(x+2) och förkortas med nämnaren

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Sedan lägger vi till och drar ifrån en lämplig x-term så att den ledande x2-termen i täljaren kan förkortas bort

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Det sista steget är att vi lägger till och drar ifrån en konstant

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Alltså gäller att

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Kvoten är x2−x+1 och resten är 2. Eftersom resten inte är noll går divisionen inte jämnt upp, dvs. q(x)=x+2 är inte en delare till p(x)=x3+x2−x+4.


Samband mellan faktorer och nollställen

Om q(x) är en delare till p(x) så gäller alltså att p(x)=k(x)q(x). Vi har därmed faktoriserat p(x) . Man säger att q(x) är en faktor i p(x). Speciellt gäller att om förstagradspolynomet (x−a) är en delare till p(x) så är (x−a) en faktor i p(x) , dvs.

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Eftersom  p(a)=q(a)(a−a)=q(a)0=0  så betyder detta att x=a är ett nollställe till p(x). Detta är precis innehållet i den s.k. faktorsatsen.

Faktorsatsen:

(x−a) är en delare till polynomet p(x) om och endast om x=a är ett nollställe till p(x).

Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att x=a är ett nollställe till p(x) så vet man automatiskt att p(x) är delbart med (x−a).


Exempel 3


Polynomet p(x)=x2−6x+8 kan faktoriseras som

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

och har därför nollställena x=2 och x=4 (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen  x2−6x+8=0.

Exempel 4


  1. Faktorisera polynomet  x2−3x−10. Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer. Andragradsekvationen  x2−3x−10=0  har lösningarna
    1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
    dvs. x=−2 och x=5. Detta betyder att  x2−3x−10=(x−(−2))(x−5)=(x+2)(x−5).
  2. Faktorisera polynomet  x2+6x+9. Detta polynom har en dubbelrot
    1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
    och därmed är  x2+6x+9=(x−(−3))(x−(−3))=(x+3)2.
  3. Faktorisera polynomet  x2−4x+5. I detta fall har polynomet två komplexa rötter
    1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
    och faktoriseringen blir  (x−(2−i))(x−(2+i)).

Exempel 5


Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena 1 , −1 och 3.


Polynomet måste enligt faktorsatsen ha faktorerna (x−1), (x+1) och \displaystyle (x-3). Multiplicerar vi ihop dessa faktorer får vi just ett tredjegradspolynom

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel


Algebrans fundamentalsats

Vi införde i början av detta kapitel de komplexa talen för att kunna lösa andragradsekvationen \displaystyle x^2=-1 och man kan nu ställa sig den lite mer teoretiska frågan om detta räcker, eller behöver vi uppfinna fler typer av tal för att kunna lösa andra mer komplicerade polynomekvationer. Svaret på den frågan är att det behöver vi inte göra utan det räcker med de komplexa talen. Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss bevisade år 1799 algebrans fundamentalsats som säger följande:

Varje polynom av grad \displaystyle n\ge1 med komplexa koefficienter har minst ett nollställe bland de komplexa talen.

Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:

Varje polynom av grad \displaystyle n\ge1 har exakt \displaystyle n stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin multiplicitet.

(Med multiplicitet menas att ett dubbelt nollställe räknas 2 gånger, ett trippelnollställe 3 gånger, osv.)


Notera att dessa satser bara säger att det finns komplexa rötter till polynom men inte hur man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller oss till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep som kan hjälpa oss att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade.


Exempel 6


Visa att polynomet \displaystyle p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5 har nollställena \displaystyle x=i och \displaystyle x = 2-i. Bestäm därefter övriga nollställen.


Vi har att

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

För att räkna ut det sista uttrycket behöver vi bestämma

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Detta ger att

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

vilket visar att \displaystyle i och \displaystyle 2-i är nollställen till polynomet.


Eftersom polynomet har reella koefficienter kan vi direkt säga att de två andra nollställena är komplexkonjugatet av de två första nollställena, dvs. de två andra rötterna är \displaystyle z=-i och \displaystyle z=2+i.

En konsekvens av algebrans fundamentalsats (och faktorsatsen) är att alla polynom kan faktoriseras i en produkt av komplexa förstagradsfaktorer. Detta gäller även polynom med reella koefficienter, men för dessa går det att multiplicera ihop förstagradsfaktorer som hör till komplexkonjugerade rötter och få en faktorisering helt med reella första- och andragradsfaktorer.


Exempel 7


Visa att \displaystyle x=1 är ett nollställe till \displaystyle p(x)= x^3+x^2-2. Faktorisera därefter \displaystyle p(x) i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.


Vi har att \displaystyle \ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ vilket visar att \displaystyle x=1 är ett nollställe till polynomet. Enligt faktorsatsen betyder detta att \displaystyle x-1 är en faktor i \displaystyle p(x), dvs. att \displaystyle p(x) är delbar med \displaystyle x-1. Vi delar därför polynomet med \displaystyle x-1 för att få återstående faktor om \displaystyle x-1 bryts ut ur polynomet

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Alltså har vi att \displaystyle \ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,.


Nu återstår att faktorisera \displaystyle x^2+2x+2. Ekvationen \displaystyle x^2+2x+2=0 har lösningarna

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

och därför har polynomet följande faktoriseringen i komplexa förstagradsfaktorer

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/3.4_Komplexe_Polynome“