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Lösung 1.2:2f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 1.2:2f moved to Lösung 1.2:2f: Robot: moved page)
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The entire expression is made up of several levels,
+
Die Funktion ist mehrmals verkettet,
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } }</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } }</math>}}
-
and when we differentiate we go from the outside inwards. In the first stage, we consider the expression as "cosine of something",
+
Die äußerste Ableitung erhalten wir indem wir den Ausdruck
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } } }\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } } }\,,</math>}}
-
and differentiate this using the chain rule,
+
mit der Kettenregel ableiten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} } = -\sin \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\,\bigr)'\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} } = -\sin \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\,\bigr)'\,\textrm{.}</math>}}
-
In the next differentiation, we have "the square root of something",
+
Im nächsten Schritt haben wir die verkettete Funktion "die Wurzel von ...",
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl( \sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}\,\bigr)' = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}}\cdot \bbox[#FFCC33;,1.5pt]{(1-x)}^{\,\prime}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl( \sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}\,\bigr)' = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}}\cdot \bbox[#FFCC33;,1.5pt]{(1-x)}^{\,\prime}\,,</math>}}
-
where we have used the differentiation rule,
+
wo wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\bigl(\sqrt{x}\,\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\bigl(\sqrt{x}\,\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}</math>}}
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for the outer derivative.
+
verwendet haben.
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The whole differentiation in one go becomes
+
Die Ableitung der ganzen Funktion ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 21:45, 18. Apr. 2009

Die Funktion ist mehrmals verkettet,

cos1−x 

Die äußerste Ableitung erhalten wir indem wir den Ausdruck

cos

mit der Kettenregel ableiten,

ddxcos1−x=−sin1−x1−x. 

Im nächsten Schritt haben wir die verkettete Funktion "die Wurzel von ...",

1−x=121−x(1−x) 

wo wir

ddxx=12x. 

verwendet haben.

Die Ableitung der ganzen Funktion ist also

ddxcos1−x=−sin1−xddx1−x=−sin1−x121−xddx(1−x)=−sin1−x121−x(−1)=21−xsin1−x.
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