2.2 Integration durch Substitution

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 20:12, 6. Jun. 2009

Integration durch Substitution

Wenn man eine Funktion nicht direkt integrieren kann, kann man die Funktion manchmal durch eine Substitution integrieren. Die Formel für die Integration durch Substitution ist einfach die Kettenregel für Ableitungen rückwärts.

Die Kettenregel  ddxf(u(x))=f(u(x))u(x)  kann auf Integralform geschrieben werden:

f(u(x))u(x)dx=f(u(x))+C

oder,

f(u(x))u(x)dx=F(u(x))+C,

Wo F eine Stammfunktion von f ist. Wir vergleichen diese Frmel mit der normalen Intagrationsformel

f(u)du=F(u)+C.

und sehen, dass wir die Variable u(x) mit der Variable u ersetzt haben, und den Term u(x)dx mit du. Daher kann man den komplizierteren Integranden f(u(x))u(x) ersetzen (mit x als Variable) mit den einfacheren Ausdruck f(u) (mit u als Variable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form f(u(x))u(x) ist.

Hinweis Die Voraussetzung um die Integration durch Substitution zu verwenden ist dass u(x) im Intervall differenzierbar ist, für alle u im Intervall.

Beispiel 1

Berechnen Sie das Integral  2xex2dx .

Wenn wir die Substitution u(x)=x2 machen, erhalten wir u(x)=2x. Durch die Substitution wird ex2, eu und u(x)dx, also 2xdx wird du

2xex2dx=ex22xdx=eudu=eu+C=ex2+C.

Beispiel 2

Bestimmen Sie das Integral  (x3+1)3x2dx .

Wir substituieren, u=x3+1.Dies ergibt u=3x2, oder du=3x2dx, und daher ist

(x3+1)3x2dx=3(x3+1)33x2dx=3u3du=u412+C=112(x3+1)4+C.

Beispiel 3

Bestimmen Sie das Integral  tanxdx,    wo −2x2.

Wir schreiben tanx wir sinxcosx machen die Substitution u=cosx,

tanxdx=sinxcosxdx=uudu=cosx=−sinx=−sinxdx=−u1du=−lnu+C=−lncosx+C.

Die Integrationsgrenzen bei Substitution

Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden um mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder berechnet man das Integral, und ersetzt danach die neue Variable mit der alten, oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.

Beispiel 4 Berechnen Sie das Integral  02ex1+exdx .

Methode 1

Wir substituieren u=ex und dies ergibt u=ex und du=exdx

02ex1+exdx=x=0x=211+udu=ln1+ux=2x=0=ln(1+ex)20=ln(1+e2)−ln2=ln21+e2.

Wir müssen die Integrationsgrenzen hier wie x=0 und x=2 schreiben, nachdem x nicht die Intagrationsvariable ist. Folgende Schreibweise ist falsch:

02ex1+exdx=0211+udu etc.

Methode 2

Wir substituieren u=ex und dies ergibt u=ex und du=exdx. Die Integrationsgrenze x=0 entspricht u=e0=1 und x=2 entspricht u=e2

02ex1+exdx=1e211+udu=ln1+u1e2=ln(1+e2)−ln2=ln21+e2.

Beispiel 5

Bestimmen Sie das Integral  02sin3xcosxdx .

Durch die Substitution u=sinx erhalten wir du=cosxdx und die Integrationsgrenzen sind daher u=sin0=0 und u=sin(2)=1. Das Integral ist daher

02sin3xcosxdx=01u3du=41u410=41−0=41.

Das linke Bild zeigt die Funktion sin³x cos x und die rechte Figur zeigt die Funktion u³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall. Der Wert des Integrals ändert sich aber nicht.

Beispiel 6

Betrachten Sie folgende Rechnungen:

2−2cosxsin2xdx=u=sinxdu=cosxdxu(−2)=−1u(2)=1=1−11u2du=−u11−1=−1−1=−2.

Diese Rechnung ist aber falsch, nachdem f(u)=1u2 nicht im ganzen Intervall [−11] definiert ist (nicht wenn x=0). Es ist notwendig dass die Funktion f(u(x)) überall im Intervall definiert und kontinuierlich ist. Ansonsten wird die Substitution u=u(x) nicht gültig sein.

Graph of f(u) = 1/u²