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3.2 Polarform

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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== Die komplexe Zahlenebene ==
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== A - Die komplexe Zahlenebene ==
Nachdem eine komplexe Zahl <math>z=a+bi</math> aus einem Realteil <math>a</math>, und einem Imaginärteil <math>b</math> besteht, kann man eine komplexe Zahl <math>z</math> wie ein Zahlenpaar <math>(a,b)</math> in einem Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir, indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse winkelrecht zu einander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe Zahl einem eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.
Nachdem eine komplexe Zahl <math>z=a+bi</math> aus einem Realteil <math>a</math>, und einem Imaginärteil <math>b</math> besteht, kann man eine komplexe Zahl <math>z</math> wie ein Zahlenpaar <math>(a,b)</math> in einem Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir, indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse winkelrecht zu einander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe Zahl einem eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.
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== Der Betrag komplexer Zahlen ==
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== B - Der Betrag komplexer Zahlen ==
Die reellen Zahlen können wir einfach ordnen, nachdem größere Zahlen rechts von kleineren Zahlen auf der Zahlengerade liegen.
Die reellen Zahlen können wir einfach ordnen, nachdem größere Zahlen rechts von kleineren Zahlen auf der Zahlengerade liegen.
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== Abstand zwischen komplexen Zahlen ==
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== C - Abstand zwischen komplexen Zahlen ==
Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene, können wir den Abstand <math>s</math> zwischen zwei komplexen Zahlen <math>z=a+ib</math> und <math>w=c+id</math> (siehe Figur) mit der Abstandsformel berechnen;
Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene, können wir den Abstand <math>s</math> zwischen zwei komplexen Zahlen <math>z=a+ib</math> und <math>w=c+id</math> (siehe Figur) mit der Abstandsformel berechnen;
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== Polarform ==
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== D - Polarform ==
Anstatt komplexe Zahlen <math>z=x+iy</math> mit deren kartesischen Koordinaten zu beschreiben, kann man polare Koordinaten verwenden. Die Darstellung einer komplexen Zahl erfolgt durch Betrag und Argument (Winkel) der Zahl (siehe Figur).
Anstatt komplexe Zahlen <math>z=x+iy</math> mit deren kartesischen Koordinaten zu beschreiben, kann man polare Koordinaten verwenden. Die Darstellung einer komplexen Zahl erfolgt durch Betrag und Argument (Winkel) der Zahl (siehe Figur).
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== Multiplikation und Division in Polarform ==
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== E - Multiplikation und Division in Polarform ==
Des große Vorteil der Polarform ist, dass die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen sich sehr einfach ausführen lässt. Für zwei komplexe Zahlen, <math>z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha)</math> und <math>w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta)</math>, kann man mit Hilfe von trigonometrischen Identitäten zeigen, dass
Des große Vorteil der Polarform ist, dass die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen sich sehr einfach ausführen lässt. Für zwei komplexe Zahlen, <math>z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha)</math> und <math>w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta)</math>, kann man mit Hilfe von trigonometrischen Identitäten zeigen, dass

Version vom 15:18, 14. Aug. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die komplexe Zahlenebene
  • Addition und Subtraktion in der komplexen Zahlenebene
  • Betrag und Argument
  • Polarform
  • Multiplikation und Division in Polarform
  • Multiplikation mit i in der komplexen Zahlenebene

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Geometrisch die arithmetischen Rechnungen in der komplexen Zahlenebene verstehen.
  • Komplexe Zahlen zwischen der Form a + ib und der Polarform umwandeln.

A - Die komplexe Zahlenebene

Nachdem eine komplexe Zahl z=a+bi aus einem Realteil a, und einem Imaginärteil b besteht, kann man eine komplexe Zahl z wie ein Zahlenpaar (ab) in einem Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir, indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse winkelrecht zu einander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe Zahl einem eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.


[Image]

Diese geometrische Interpretation der komplexen Zahlen nennt man die komplexe Zahlenebene.


Anmerkung: Die reellen Zahlen sind komplexe Zahlen, wo der Imaginärteil 0 ist, und die also auf der reellen Achse liegen. Daher kann man die Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen so sehen, dass man die Dimension der Zahlengerade auf eine Ebene erweitert.

Generell kann man komplexe Zahlen wie Vektoren behandeln.


[Image]

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Geometrisch erhält man die Zahl z + w indem man den Vektor von 0 bis w parallel zu z verschiebt. Die Subtraktion z - w kann wie z + (-w) geschrieben werden, und kann also geometrisch interpretiert also ob man den Vektor von 0 bis -w parallel bis z verschiebt.

Beispiel 1


Mit z=2+i und w=−3−i, zeichnen Sie z, w, z, z−w und z−w in der komplexen Zahlenebene.

We have that
  • z=2−i,
  • w=−3+i,
  • z−w=2+i−(−3−i)
    =5+2i,
  • z−w=2−i−(−3+i)
    =5−2i(=z−w).

[Image]

Beachten Sie, dass die konjugiert komplexen Zahlen Spiegelbilder in der reellen Achse sind.

Beispiel 2

Zeichnen Sie alle Zahlen z in der komplexen Zahlenebene, die folgende Bedingungen erfüllen:

  1. Rez3,
  2. −1Imz2.

Die erste Ungleichung definiert die linke Fläche, und die zweite Ungleichung definiert die rechte Fläche.


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Alle Zahlen die Re z ≥ 3 erfüllen haben einen Realteil dass größer als  3. Alle Zahlen die -1 < Im z ≤ 2 erfüllen haben einen Imaginärteil der zwischen  -1 und 2 liegt. Die untere Gerade ist gestrichelt, und dies bedeutet dass die Punkte auf dieser gerade nicht zum Gebiet.


B - Der Betrag komplexer Zahlen

Die reellen Zahlen können wir einfach ordnen, nachdem größere Zahlen rechts von kleineren Zahlen auf der Zahlengerade liegen.

Für komplexe Zahlen ist dies aber nicht möglich. Man kann die komplexen Zahlen nicht nach Größe ordnen. Zum Beispiel kann man nicht sagen ob z=1−i oder w=−1+i am größten ist. Mit dem Begriff Betrag kann man aber ein Größenmaß auch für komplexe Zahlen einführen.


Für eine komplexe Zahl z=a+ib ist der Betrag z definiert als,

z=a2+b2. 

Wir sehen hier, dass z eine reelle Zahl ist, und dass z0. Für eine reelle Zahl ist b=0 und daher ist z=a2=a , wie gewohnt. Geometrisch ist der Betrag einer komplexen Zahl der Abstand vom Punkt (00) zu einer komplexen Zahl mit den Koordinaten (ab), nach dem Gesetz des Pythagoras.

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C - Abstand zwischen komplexen Zahlen

Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene, können wir den Abstand s zwischen zwei komplexen Zahlen z=a+ib und w=c+id (siehe Figur) mit der Abstandsformel berechnen;

s=(a−c)2+(b−d)2. 

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Nachdem z−w=(a−c)+i(b−d), erhalten wir

z−w=(a−c)2+(b−d)2=  der Abstand zwischen z und w.


Beispiel 3

Zeichne in der komplexen Zahlenebene die folgende Menge:

  1. z=2

    Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen, die den Abstand 2 zum Punkt (00) haben. Die Gleichung beschreibt also einen Kreis mit dem Mittelpunkt (00) und dem Radius 2.

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  1. z−2=1

    Diese Ungleichung ist von allen Zahlen erfüllt, deren Abstand von der Zahl 2 geringer als 1 ist. Also ein Kreis mit dem Mittelpunkt z=2 und dem Radius 1.

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  1. z+2−i2

    Die linke Seite kann als z−(−2+i) geschrieben werden, und daher beschreibt die Ungleichung alle Zahlen, deren Abstand zur Zahl −2+i geringer als 2 ist. Dies ist ein Kreis mit dem Radius 2 und dem Mittelpunkt −2+i.

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  1. 21z−(2+3i)1

    Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen, deren Abstand zur Zahl z=2+3i zwischen 21 und 1 ist.

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Beispiel 4

Zeichne in der komplexen Zahlenebene alle Zahlen ein, die die folgenden (Un)gleichungen erfüllen:


  1. z−2i31Rez2 

    Die erste Ungleichung gibt, dass die Zahlen im Kreis mit dem Radius 3 um den Mittelpunkt 2i liegen müssen. Die zweite Ungleichung ist ein vertikaler Streifen von Zahlen, deren Realteil zwischen 1 und 2 liegt. Die Zahlen, die in beiden Gebieten liegen, erfüllen auch beide Ungleichungen.
  2. z+1=z−2

    Die Gleichung kann wie z−(−1)=z−2 geschrieben werden. Also muss z denselben Abstand zu −1 wie zu 2 haben. Diese Bedienung ist von allen Zahlen z erfüllt, die den Realteil 12 haben.

[Image]

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Das gestrichelte Gebiet besteht aus den Punkten die die Ungleichungen |z - 2i| ≤ 3 und 1 ≤ Re z ≤ 2 erfüllen. Die Zahlen die |z + 1| = |z - 2| erfüllen, liegen auf der Gerade von Zahlen deren Realteil 1/2 ist.


D - Polarform

Anstatt komplexe Zahlen z=x+iy mit deren kartesischen Koordinaten zu beschreiben, kann man polare Koordinaten verwenden. Die Darstellung einer komplexen Zahl erfolgt durch Betrag und Argument (Winkel) der Zahl (siehe Figur).

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Nachdem cos=xr und sin=yr istmath>\,x = r\cos\alpha\,</math> und y=rsin. Die Zahl z=x+iy kann also als

z=rcos+irsin=r(cos+isin),

geschrieben werden. Dies nennt man die Polarform der komlexen Zahl z. Der Winkel wird der Betrag von z genannt, und wird geschrieben als

=argz.

Den Winkel kann man bestimmen, indem man die Gleichung tan=yx löst. Nachdem diese Gleichung unendlich viele Lösungen hat, ist das Argument nicht eindeutig definiert. Meistens wählt man das Argument so, dass es zwischen 0 und 2 oder zwischen − und liegt.


Die reelle Zahl r, ist der Abstand der Zahl zum Punkt (0,0), und ist also der Betrag von z,

r=x2+y2=z. 

Beispiel 5


Schreibe folgende komplexe Zahlen in Polarform:

  1. −3

    Nachdem −3=3 und arg(−3)=, ist  −3=3(cos+isin).
  2. i

    Nachdem i=1 und argi=2 ist  i=cos(2)+isin(2).
  3. 1−i

    Der Betrag ist 1−i=12+(−1)2=2 . Die Zahl liegt im vierten Quadranten, und hat den Winkel 4 zu der positiven reellen Achse. Daher ist das Argument arg(1−i)=2−4=74, und daher ist  1−i=2cos(74)+isin(74) .
  4. 23+2i 

    Wir berechnen zuerst den Betrag,
    23+2i=(23)2+22=16=4. 

    Wir benennen das Argument . Das Argument erfüllt die Gleichung

    tan=223=13

    und nachdem die Zahl im ersten Quadranten liegt. ist =6 und daher

    23+2i=4cos6+isin6. 

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E - Multiplikation und Division in Polarform

Des große Vorteil der Polarform ist, dass die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen sich sehr einfach ausführen lässt. Für zwei komplexe Zahlen, z=z(cos+isin) und w=w(cos+isin), kann man mit Hilfe von trigonometrischen Identitäten zeigen, dass

zwzw=zwcos(+)+isin(+),=zwcos(−)+isin(−).

Wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert, sind deren Beträge multipliziert, und deren Argumente addiert, Wenn man zwei komplexe Zahlen dividiert, werden deren Beträge dividiert, und deren Argumente subtrahiert. Zusammengefasst gilt also:

zw=zwandarg(zw)=argz+argw,
zw=zw andargzw=argz−argw. 


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Beispiel 6


Vereinfache folgende Ausdrücke, indem Du die Ausdrücke in Polarform schreiben:

  1. 12−i2−12+i2 

    Wir schreiben den Zähler und Nenner jeweils in Polarform
    12−i2−12+i2=1cos47+isin47=1cos43+isin43

    Es folgt jetzt, dass

    12−i2−12+i2=cos43+isin43cos47+isin47=cos47−43+isin47−43=cos+isin=−1.


  2. (−2−2i)(1+i)

    Wir schreiben die beiden Faktoren jeweils in Polarform
    −2−2i1+i=8cos45+isin45,=2cos4+isin4.

    Durch die Multiplikationsregeln der Polarform folgt, dass

    (−2−2i)(1+i)=82cos45+4+isin45+4=4cos23+isin23=−4i.

Beispiel 7


  1. Vereinfache iz und iz wenn z=2cos6+isin6 . Gib die Antwort in Polarform an.

    Nachdem  i=1cos2+isin2   folgt, dass
    iziz=2cos6+2+isin6+2=2cos32+isin32,=2cos6−2+isin6−2=2cos3−+isin3−.


  2. Vereinfachen Sie iz und iz wenn  z=3cos47+isin47 . Antworten Sie in Polarform.

    Wir schreiben i in Polarform und erhalten;
    iziz=3cos47+2+isin47+2=3cos49+isin49=3cos4+isin4,=2cos47−2+isin47−2=2cos45+isin45.

Wir sehen, dass die Multiplikation mit i zu einer Drehung des Winkels 2 gegen den Uhrzeigersinn führt.

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Komplexe Zahlen z, iz und z/i bei denen |z| = 2 und arg z = π/6. Komplexe Zahlen z, iz und z/i bei denen |z| = 3 und arg z = 7π/4.
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