Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

1.2 Ableitungsregeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Remove leading spaces in the wiki text for displayed formulas to avoid empty boxes after the formula in IE)
Zeile 35: Zeile 35:
<li><math>\frac{d}{dx}\,(x^2 e^x) = 2x\, e^x + x^2\, e^x
<li><math>\frac{d}{dx}\,(x^2 e^x) = 2x\, e^x + x^2\, e^x
= (2x +x^2)\,e^x\,</math>.</li>
= (2x +x^2)\,e^x\,</math>.</li>
-
<li><math>\frac{d}{dx}\,(x \sin x) = 1\times \sin x + x\,\cos x
+
<li><math>\frac{d}{dx}\,(x \sin x) = 1\cdot \sin x + x\,\cos x
= \sin x + x \cos x\,</math>.</li>
= \sin x + x \cos x\,</math>.</li>
-
<li><math>\frac{d}{dx}\,(x \ln x -x) = 1 \times \ln x + x\, \frac{1}{x} - 1
+
<li><math>\frac{d}{dx}\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\, \frac{1}{x} - 1
= \ln x + 1 -1 = \ln x\,</math>.</li>
= \ln x + 1 -1 = \ln x\,</math>.</li>
<li><math>\frac{d}{dx}\,\tan x = \frac{d}{dx}\,\frac{\sin x}{\cos x}
<li><math>\frac{d}{dx}\,\tan x = \frac{d}{dx}\,\frac{\sin x}{\cos x}
Zeile 47: Zeile 47:
= \frac{1}{\cos^2 x}\,</math>.</li>
= \frac{1}{\cos^2 x}\,</math>.</li>
<li><math>\frac{d}{dx}\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}
<li><math>\frac{d}{dx}\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}
-
= \frac{\displaystyle 1 \times \sqrt{x}
+
= \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x}
- (1+x) \, \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2}
- (1+x) \, \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2}
= \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}
= \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}
Zeile 56: Zeile 56:
= \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,</math>.</li>
= \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,</math>.</li>
<li><math>\frac{d}{dx}\,\frac{x\,e^x}{1+x}
<li><math>\frac{d}{dx}\,\frac{x\,e^x}{1+x}
-
= \frac{(1\times e^x + x\, e^x)(1+x)
+
= \frac{(1\cdot e^x + x\, e^x)(1+x)
-
- x\,e^x \times 1}{(1+x)^2}
+
- x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2}
\vphantom{\Biggl(}</math><br>
\vphantom{\Biggl(}</math><br>
<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x\,e^x}{1+x}}{}
<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x\,e^x}{1+x}}{}
Zeile 78: Zeile 78:
= \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}\,\mbox{.}</math>}}
= \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}\,\mbox{.}</math>}}
-
Man sagt, dass die verkettete Funktion ''y'' aus einer äußeren Funktion ''f'' und einer inneren Funktion ''g'' besteht. Analog nennt man <math>f^{\,\prime}</math> die äußere Ableitung, und <math>g'</math> die innere Ableitung.
+
Man sagt, dass die verkettete Funktion ''y'' aus einer äußeren Funktion ''f'' und einer inneren Funktion ''g'' besteht. Analog nennt man <math>f^{\,\prime}</math> die äußere Ableitung und <math>g'</math> die innere Ableitung.
Zeile 122: Zeile 122:
\text{Innere Ableitung:} & 6x
\text{Innere Ableitung:} & 6x
\end{array}</math><br><br>
\end{array}</math><br><br>
-
<math>f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \times 6x
+
<math>f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x
= 6x \cos (3x^2 +1)</math></li>
= 6x \cos (3x^2 +1)</math></li>
Zeile 130: Zeile 130:
\text{Innere Ableitung:} & 2x
\text{Innere Ableitung:} & 2x
\end{array}</math><br><br>
\end{array}</math><br><br>
-
<math>y' = 5 \, e^{x^2} \times 2x = 10x\, e^{x^2}</math>
+
<math>y' = 5 \, e^{x^2} \cot 2x = 10x\, e^{x^2}</math>
</li>
</li>
Zeile 136: Zeile 136:
<math>\begin{array}{ll}
<math>\begin{array}{ll}
\text{Äußere Ableitung:} & e^{x\, \sin x}\\
\text{Äußere Ableitung:} & e^{x\, \sin x}\\
-
\text{Innere Ableitung:} & 1\times \sin x + x \cos x
+
\text{Innere Ableitung:} & 1\cdot \sin x + x \cos x
\end{array}</math><br><br>
\end{array}</math><br><br>
<math>f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)</math>
<math>f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)</math>
Zeile 147: Zeile 147:
<li><math> \frac{d}{dx}\,a^x = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x
<li><math> \frac{d}{dx}\,a^x = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x
-
= \frac{d}{dx}\,e^{\ln a \times x}
+
= \frac{d}{dx}\,e^{\ln a \cdot x}
-
= e^{\ln a \times x} \, \ln a
+
= e^{\ln a \cdot x} \, \ln a
= a^x \, \ln a </math></li>
= a^x \, \ln a </math></li>
<li><math> \frac{d}{dx}\,x^a = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a
<li><math> \frac{d}{dx}\,x^a = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a
= \frac{d}{dx}\,e^{ a \, \ln x }
= \frac{d}{dx}\,e^{ a \, \ln x }
-
= e^{a \, \ln x} \times a \, \frac{1}{x}
+
= e^{a \, \ln x} \cdot a \, \frac{1}{x}
-
= x^a \times a \, x^{-1}
+
= x^a \cdot a \, x^{-1}
= ax^{a-1}</math></li>
= ax^{a-1}</math></li>
</ol>
</ol>
Zeile 174: Zeile 174:
= 3(\sin 2x)^2 \, \cos 2x \, \frac{d}{dx}\,(2x)
= 3(\sin 2x)^2 \, \cos 2x \, \frac{d}{dx}\,(2x)
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
-
<math> \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\,\cos 2x\times 2
+
<math> \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\,\cos 2x\cdot 2
= 6 \sin^2 2x\,\cos 2x</math></li>
= 6 \sin^2 2x\,\cos 2x</math></li>
<li><math> \frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)
<li><math> \frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)
Zeile 181: Zeile 181:
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}
<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}
-
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\times 4 (x^2 -3x)^3
+
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3
\, \frac{d}{dx}\,(x^2-3x)
\, \frac{d}{dx}\,(x^2-3x)
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}
<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}
-
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\times 4 (x^2 -3x)^3
+
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3
\, (2x-3)</math></li>
\, (2x-3)</math></li>
<li><math> \frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)
<li><math> \frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)
Zeile 204: Zeile 204:
\vphantom{\Biggl(}</math><br>
\vphantom{\Biggl(}</math><br>
<math>\phantom{\displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{}
<math>\phantom{\displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{}
-
= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \times 3 x^2
+
= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2
= \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}}
= \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}}
\vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}</math></li>
\vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}</math></li>

Version vom 13:49, 21. Aug. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches
  • Die Ableitung verketteter Funktionen
  • Höhere Ableitungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man prinzipiell jede Funktion, die aus Elementarfunktionen besteht, ableitet.

A - Die Produkt- und Quotientenregel

Mittels der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkte und Quotienten von Funktionen herleiten:

Faktor- und Quotientenregel:

ddxf(x)g(x)ddxf(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g(x)2f(x)g(x)−f(x)g(x)

Beispiel 1

  1. ddx(x2ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex.
  2. ddx(xsinx)=1sinx+xcosx=sinx+xcosx.
  3. ddx(xlnx−x)=1lnx+xx1−1=lnx+1−1=lnx.
  4. ddxtanx=ddxsinxcosx=(cosx)2cosxcosx−sinx(−sinx)
    =cos2xcos2x+sin2x=1cos2x.
  5. ddxx1+x=(x)21x−(1+x)12x=x2x2x−12x−x2x
    =x2xx−1=x−12xx.
  6. ddxxex1+x=(1+x)2(1ex+xex)(1+x)−xex1
    =(1+x)2ex+xex+xex+x2ex−xex=(1+x)2(1+x+x2)ex.


B - Ableitung von verketteten Funktionen

Eine Funktion y=f(g), wo auch die Variable g selbst eine Funktion von x ist, nennt man eine verkettete Funktion. Die Funktion ist also y=fg(x) . Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.

y(x)=fg(x)g(x). 

Nennen wir y=f(u) und u=g(x), wird die Kettenregel

dxdy=dudydxdu.

Man sagt, dass die verkettete Funktion y aus einer äußeren Funktion f und einer inneren Funktion g besteht. Analog nennt man f die äußere Ableitung und g die innere Ableitung.


Beispiel 2

In der Funktion y=(x2+2x)4 ist

y=u4 die äußere Funktion und u=x2+2x die innere Funktion.
dudy=4u3 die äußere Ableitung und dxdu=2x+2 die innere Ableitung.

Die Ableitung der Funktion y in Bezug auf x ist durch die Kettenregel gegeben

dxdy=dudydxdu=4u3(2x+2)=4(x2+2x)3(2x+2).

Wenn man mit verketteten Funktionen rechnet, benennt man die äußere und innere Ableitung meist nicht mit neuen Funktionen, sondern man sagt einfach

(Äußere Ableitung)(Innere Ableitung).

Vergessen Sie nicht, die Produkt-und Quotientenregeln falls notwendig anzuwenden.

Beispiel 3

  1. f(x)=sin(3x2+1)

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:cos(3x2+1)6x

    f(x)=cos(3x2+1)6x=6xcos(3x2+1)
  2. y=5ex2

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:5ex22x

    y=5ex2cot2x=10xex2
  3. f(x)=exsinx

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:exsinx1sinx+xcosx

    f(x)=exsinx(sinx+xcosx)
  4. s(t)=t2cos(lnt)

    s(t)=2tcos(lnt)+t2−sin(lnt)t1=2tcos(lnt)−tsin(lnt) 
  5. ddxax=ddxelnax=ddxelnax=elnaxlna=axlna 
  6. ddxxa=ddxelnxa=ddxealnx=ealnxax1=xaax−1=axa−1 

Die Kettenregel kann mehrmals angewendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion y=fg(h(x))  die Ableitung


y=fg(h(x))g(h(x))h(x). 


Beispiel 4

  1. ddxsin32x=ddx(sin2x)3=3(sin2x)2ddxsin2x=3(sin2x)2cos2xddx(2x)
    =3sin22xcos2x2=6sin22xcos2x
  2. ddxsin(x2−3x)4=cos(x2−3x)4ddx(x2−3x)4 
    =cos(x2−3x)44(x2−3x)3ddx(x2−3x) 
    =cos(x2−3x)44(x2−3x)3(2x−3) 
  3. ddxsin4(x2−3x)=ddxsin(x2−3x)4 
    =4sin3(x2−3x)ddxsin(x2−3x)
    =4sin3(x2−3x)cos(x2−3x)ddx(x2−3x)
    =4sin3(x2−3x)cos(x2−3x)(2x−3)
  4. ddxex3−1=ex3−1ddxx3−1=ex3−112x3−1ddx(x3−1) 
    =ex3−112x3−13x2=2x3−13x2ex3−1


C - Höhere Ableitungen

Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.

Die zweite Ableitung schreibt man meistens f, während man die dritte Ableitung als f(3) schreibt, die vierte als f(4) etc.

Mann kann auch D2f, D3f oder dx2d2y, dx3d3y, ... schreiben.

Beispiel 5

  1. f(x)=3ex2−1
    f(x)=3ex2−1ddx(x2−1)=3ex2−12x=6xex2−1
    f(x)=6ex2−1+6xex2−12x=6ex2−1(1+2x2)
  2. y=sinxcosx
    dxdy=cosxcosx+sinx(−sinx)=cos2x−sin2x
    dx2d2y=2cosx(−sinx)−2sinxcosx=−4sinxcosx
  3. ddx(exsinx)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)
    d2dx2(exsinx)=ddxex(sinx+cosx)  =ex(sinx+cosx)+ex(cosx−sinx)=2excosx
    d3dx3(exsinx)=ddx(2excosx) =2excosx+2ex(−sinx)=2ex(cosx−sinx)
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/1.2_Ableitungsregeln“