Processing Math: Done
Lösung 2.1:4b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
- | Wir | + | Wir sehen, dass die Funktion eine Parabel mit dem Maximum <math>y=3</math> bei <math>x=1</math> ist. |
[[Image:2_1_4_b.gif|center]] | [[Image:2_1_4_b.gif|center]] | ||
- | die Fläche die wir bestimmen | + | die Fläche die wir bestimmen sollen, ist im Bild schrafiert. |
- | Diese Fläche bestimmen wir mit | + | Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral |
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,</math>}} | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>0=-(x-1)^2+3</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>0=-(x-1)^2+3</math>}} | ||
- | + | also | |
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)^2=3\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)^2=3\,\textrm{.}</math>}} | ||
- | Die Gleichung hat also die Wurzeln <math>x = 1\pm \sqrt{3}\ | + | Die Gleichung hat also die Wurzeln <math>x = 1\pm \sqrt{3}\</math> , <math>x=1-\sqrt{3}</math> und <math>x=1+\sqrt{3}\</math>. |
Die Fläche ist also | Die Fläche ist also | ||
- | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}} |
- | Wir schreiben hier den Integranden in | + | Wir schreiben hier den Integranden in die quadratisch ergänzte Form. |
- | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl( -(x-1)^2 + 3\bigr)\,dx\,,</math>}} |
- | + | So erhalten wir die Stammfunktion | |
- | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,\textrm{.}</math>}} |
- | und daher | + | und daher |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
- | \text{ | + | \text{Fläche} &= -\frac{(1+\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1+\sqrt{3}\,)-\Bigl(-\frac{(1-\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1-\sqrt{3}\,)\Bigr)\\[5pt] |
&= -\frac{(\sqrt{3}\,)^3}{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)^3}{3} - 3 + 3\sqrt{3}\\[5pt] | &= -\frac{(\sqrt{3}\,)^3}{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)^3}{3} - 3 + 3\sqrt{3}\\[5pt] | ||
&= -\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] | &= -\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] | ||
Zeile 56: | Zeile 56: | ||
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
- | Hinweis: Die Rechnungen werden | + | Hinweis: Die Rechnungen werden umständlich, wenn wir mit dem Ausdruck |
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\bigl(-x^2+2x+2 \bigr)}\,dx = \cdots</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\bigl(-x^2+2x+2 \bigr)}\,dx = \cdots</math>}} | ||
rechnen. | rechnen. |
Version vom 22:23, 21. Aug. 2009
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
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Wir sehen, dass die Funktion eine Parabel mit dem Maximum
die Fläche die wir bestimmen sollen, ist im Bild schrafiert.
Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral
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Wo a und b die Schnittstellen von der Parabel und der x-Achse sind, also die Wurzeln von
oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben),
also
Die Gleichung hat also die Wurzeln 3
3
3
Die Fläche ist also
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Wir schreiben hier den Integranden in die quadratisch ergänzte Form.
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So erhalten wir die Stammfunktion
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und daher
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Hinweis: Die Rechnungen werden umständlich, wenn wir mit dem Ausdruck
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rechnen.