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Lösung 2.1:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Zuerst sehen wir in der Figur welches unseres Gebiet ist.
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Zuerst betrachten wir den Graphen, der unser Gebiet einschließt.
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Die Kurven <math>y=x^2/4+2</math> und <math>y=8-x^2/8</math> sind beide quadratische Funktionen. Die erste hat ihr Minimum <math>y=2</math> wenn <math>x=0</math> und die zweite das Maximum <math>y=8</math> wenn <math>x=0</math>. Die Kurven sehen ungefähr wie im Bild unten aus.
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Die Kurven <math>y=x^2/4+2</math> und <math>y=8-x^2/8</math> sind beide quadratische Funktionen. Die erste hat das Minimum <math>y=2</math> wenn <math>x=0</math>, und die zweite das Maximum <math>y=8</math> wenn <math>x=0</math>. Die Kurven sehen ungefähr wie im Bild unten aus.
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[[Image:2_1_4_c.gif|center]]
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Die obere Grenze der Fläche ist die Funktion <math>y=8-x^2/8</math> und die untere Grenze die Funktion <math>y=x^2/4+2</math>. Bestimmen wir die Schnittstellen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> der beiden Kurven, ist die Fläche
Die obere Grenze der Fläche ist die Funktion <math>y=8-x^2/8</math> und die untere Grenze die Funktion <math>y=x^2/4+2</math>. Bestimmen wir die Schnittstellen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> der beiden Kurven, ist die Fläche
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_{a}^{b} \bigl(\bigl(8-\tfrac{1}{8}x^2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}x^2+2\bigr)\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_{a}^{b} \bigl(\bigl(8-\tfrac{1}{8}x^2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}x^2+2\bigr)\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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Die Fläche ist der Integral des Unterschiedes zwischen den beiden Funktionen.
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Die Fläche ist das Integral der Differenz zwischen den beiden Funktionen.
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Wir erhalten die Schnittstellen durch folgende Gleichung;
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Wir erhalten die Schnittstellen durch folgende Gleichung:
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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y &= 8-\tfrac{1}{8}x^2\,,\\[5pt]
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y &= 8-\tfrac{1}{8}x^2\,,\\[5pt]
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y &= \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}
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y &= \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Eliminieren Wir ''y'', und lösen die Gleichung für ''x'', erhalten wir die Schnittstellen
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Eliminieren wir ''y'' und lösen die Gleichung für ''x'', erhalten wir die Schnittstellen
{{Abgesetzte Formel||<math>8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}</math>}}
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Also sind die Schnittstellen <math>x=-4</math> und <math>x=4\,</math>.
Also sind die Schnittstellen <math>x=-4</math> und <math>x=4\,</math>.
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Die Flche zwischen den Kurven ist also
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Die Fälche zwischen den Kurven ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{Area} &= \int\limits_{-4}^{4} \Bigl(\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2\Bigr)-\Bigl( \frac{1}{4}x^2+2\Bigr) \Bigr)\,dx\\[5pt]
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\text{Fläche} &= \int\limits_{-4}^{4} \Bigl(\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2\Bigr)-\Bigl( \frac{1}{4}x^2+2\Bigr) \Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{4}x^2-2\Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{4}x^2-2\Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(6-\Bigl(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\Bigr)x^2\Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(6-\Bigl(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\Bigr)x^2\Bigr)\,dx\\[5pt]

Version vom 22:30, 21. Aug. 2009

Zuerst betrachten wir den Graphen, der unser Gebiet einschließt. Die Kurven y=x24+2 und y=8−x28 sind beide quadratische Funktionen. Die erste hat ihr Minimum y=2 wenn x=0 und die zweite das Maximum y=8 wenn x=0. Die Kurven sehen ungefähr wie im Bild unten aus.

Die obere Grenze der Fläche ist die Funktion y=8−x28 und die untere Grenze die Funktion y=x24+2. Bestimmen wir die Schnittstellen x=a und x=b der beiden Kurven, ist die Fläche

Fläche=ba8−81x2−41x2+2dx. 

Die Fläche ist das Integral der Differenz zwischen den beiden Funktionen.

Wir erhalten die Schnittstellen durch folgende Gleichung:

yy=8−81x2=41x2+2.

Eliminieren wir y und lösen die Gleichung für x, erhalten wir die Schnittstellen

8−81x2=41x2+2.

oder

41x2+81x2=8−2

also ist

41+81x283x2x2=6=6=16.

Also sind die Schnittstellen x=−4 und x=4.

Die Fälche zwischen den Kurven ist also

Fläche=4−48−81x2−41x2+2dx=4−48−81x2−41x2−2dx=4−46−81+41x2dx=4−46−83x2dx= 6x−833x3 4−4= 6x−8x3 4−4=64−843−6(−4)−8(−4)3=24−8+24−8=32.
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