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Lösung 2.3:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Nachdem wir eine Produkte von zwei Funktionen haben, ist es ein natürlicher Schritt partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren sodass wir <math>x^3</math> ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von <math>e^{x^2}</math> finden, und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist dass wir <math>x^3</math> integrieren und <math>e^{x^2}</math> ableiten
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Nachdem wir eine Produkte von zwei Funktionen haben, ist es ein natürlicher Schritt partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren, sodass wir <math>x^3</math> ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von <math>e^{x^2}</math> finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir <math>x^3</math> integrieren und <math>e^{x^2}</math> ableiten
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.
Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.
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Die Lösung ist dass wir die Substitution
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Die Lösung ist, dass wir die Substitution
<math>u=x^2</math> machen. Schreiben wir das Integral wie
<math>u=x^2</math> machen. Schreiben wir das Integral wie
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}
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sehen wir dass "<math>x\,dx</math>" mit <math>du</math> ersetzt werden kann, während <math>x^2</math> durch ''u'' ersetzt wird. So erhalten wir
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sehen wir, dass "<math>x\,dx</math>" mit <math>du</math> ersetzt werden kann, während <math>x^2</math> durch ''u'' ersetzt wird. So erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 11:10, 22. Aug. 2009

Nachdem wir eine Produkte von zwei Funktionen haben, ist es ein natürlicher Schritt partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren, sodass wir x3 ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von ex2 finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir x3 integrieren und ex2 ableiten

x3ex2dx=4x4ex2−4x4ex22xdx=41x4ex2−21x5ex2dx

Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.

Die Lösung ist, dass wir die Substitution u=x2 machen. Schreiben wir das Integral wie

10x3ex2dx=10x2ex2xdx 

sehen wir, dass "xdx" mit du ersetzt werden kann, während x2 durch u ersetzt wird. So erhalten wir

10x3ex2dx=10x2ex2xdx=udu=x2=x2dx=2xdx=10ueu21du=2110ueudu.

Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor u ableiten,

2110ueudu=21 ueu 10−21101eudu=211e1−0−21 eu 10=21e−21e1−e0=21e−21e+21=21.
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