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Lösung 3.1:4f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (12:23, 22. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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Nachdem <math>z</math> und <math>\bar{z}</math> in der Gleichung, we cannot use <math>z</math> (oder <math>\bar{z}</math>) lösen, und wir lassen statt dessen
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Nachdem <math>z</math> und <math>\bar{z}</math> in der Gleichung sind, können wir <math>z</math> (oder <math>\bar{z}</math>) nicht dirket benutzen um die Gleichung zu lösen, benutzen statt dessen
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy</math>}}
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und lösen die Gleichung für den Realteil <math>x</math> und den Imaginärteil <math>y</math>.
und lösen die Gleichung für den Realteil <math>x</math> und den Imaginärteil <math>y</math>.
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Die linke Seite der Gleichung bekommt dann
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Die linke Seite der Gleichung wird dann
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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und die Gleichung ist also
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also ist die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}</math>}}
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Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, und also erhalten wir
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Die beiden Seiten sind gleich, wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, daher erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}

Aktuelle Version

Nachdem z und z in der Gleichung sind, können wir z (oder z) nicht dirket benutzen um die Gleichung zu lösen, benutzen statt dessen

z=x+iy

und lösen die Gleichung für den Realteil x und den Imaginärteil y.

Die linke Seite der Gleichung wird dann

(1+i)(x−iy)+i(x+iy)=1x−1iy+ix−i2y+ix+i2y=x−iy+ix+y+ix−y=x+(2x−y)i

also ist die Gleichung

x+(2x−y)i=3+5i.

Die beiden Seiten sind gleich, wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, daher erhalten wir

x2x−y=3=5. 

Dies ergibt x=3 und y=2x−5=23−5=1. Also ist die Lösung der Gleichung z=3+i.

Dies überprüfen wir einfach, indem wir z=3+i in der ursprünglichen Gleichung substituieren,

Linke Seite=(1+i)z+iz=(1+i)(3−i)+i(3+i)=3−i+3i+1+3i−1=3+5i=Rechte Seite.
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