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Lösung 3.3:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Eine Gleichung auf der Form "<math>z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}</math>" löst man indem man alle Zahlen auf Polarform bringt, und den Moivreschen Satz benutzt.
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Eine Gleichung der Form "<math>z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}</math>" löst man indem man alle Zahlen auf Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.
Wir bringen zuerst <math>z</math> und <math>1</math> auf Polarform
Wir bringen zuerst <math>z</math> und <math>1</math> auf Polarform
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{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}
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wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit dir rechte und die linke Seite gleich sein sollen, msen deren Betrag gleich sein, und deren Argument darf sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,
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wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit dir rechte und die linke Seite gleich sein sollen, müssen deren Betrag gleich sein und auch deren Argument darf sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^{4} &= 1\,,\\[5pt]
r^{4} &= 1\,,\\[5pt]
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4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n is an arbitrary integer})\,\textrm{.}
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4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige natürliche Zahl})\,\textrm{.}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Also it
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Also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r &= 1\,,\\[5pt]
r &= 1\,,\\[5pt]
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\alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n is an arbitrary integer).}
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\alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
und die Wurzeln sind:
und die Wurzeln sind:
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{{Abgesetzte Formel||<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{for }n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ldots</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3\ldots</math>}}
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Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche winkeln, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2\,</math>, nachdem jeder anderer Winkel sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.
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Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2</math>, nachdem jeder anderer Winkel sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.
Die Wurzeln sind daher
Die Wurzeln sind daher
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Wir sehen dass die Lösungen eine Quadrate bilden, wie wir es erwarten, nachdem wir 4 verschiedene Lösungen haben.
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Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, nachdem wir 4 verschiedene Lösungen haben.
[[Image:3_3_2_a.gif|center]]
[[Image:3_3_2_a.gif|center]]

Version vom 21:08, 22. Aug. 2009

Eine Gleichung der Form "zn=Eine komplexe Zahl" löst man indem man alle Zahlen auf Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.

Wir bringen zuerst z und 1 auf Polarform

z1=r(cos+isin)=1(cos0+isin0).

und erhalten die Gleichung

r4(cos4+isin4)=1(cos0+isin0)

wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit dir rechte und die linke Seite gleich sein sollen, müssen deren Betrag gleich sein und auch deren Argument darf sich nur mit einen Multipel von 2 unterscheiden,

r44=1=0+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl). 

Also ist

r=1=2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).

und die Wurzeln sind:

z=1cos2n+isin2nfür n=0123... 

Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich 0, 2, und 32, nachdem jeder anderer Winkel sich nur mit einen Multipel von 2 von diesen Winkeln unterscheidet.

Die Wurzeln sind daher

z=1(cos0+isin0)1(cos(2)+isin(2))1(cos+isin)1(cos(32)+isin(32))=1i−1−i.

Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, nachdem wir 4 verschiedene Lösungen haben.

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