Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

Lösung 3.3:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 10: Zeile 10:
{{Abgesetzte Formel||<math>r^5(\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^5(\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
-
Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten, und erhalten
+
Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-
5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
+
5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
(Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden, und trotzdem dieselbe komplexe Zahl entsprechen.)
+
(Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden und trotzdem derselben komplexe Zahl entsprechen.)
Wir erhalten also
Wir erhalten also
Zeile 24: Zeile 24:
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r &= \sqrt[5]{2} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]
r &= \sqrt[5]{2} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]
-
\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
+
\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
Wir sehen dass das Argument <math>\alpha</math>nur 5 verschiedene Werte annimmt
+
Wir sehen, dass das Argument <math>\alpha</math>nur 5 verschiedene Werte annimmt
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> and <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> und <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>}}
-
Nachdem sich die Winkeln dann wiederholen.
+
Nachdem sich die Winkel dann wiederholen.
Die Wurzeln sind also
Die Wurzeln sind also

Version vom 21:19, 22. Aug. 2009

Wir bringen z und −1−i auf Polarform

z−1−i=r(cos+isin)=2cos45+isin45. 

Mit den Moivreschen Gesetz erhalten wir die Gleichung

r5(cos5+isin5)=2cos45+isin45. 

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten und erhalten

r55=2=45+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).


(Die Argumente 5 und 54 können sich mit einen Multipel von 2 unterscheiden und trotzdem derselben komplexe Zahl entsprechen.)

Wir erhalten also

r=52=21215=2110=5145+2n=4+52n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).

Wir sehen, dass das Argument nur 5 verschiedene Werte annimmt

4, 4+52, 4+54, 4+56 und 4+58

Nachdem sich die Winkel dann wiederholen.

Die Wurzeln sind also

z=2110cos4+52n+isin4+52n 

für n=0, 1, 2, 3 und 4.

Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.3:2c“