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Lösung 2.1:4d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
-
&= 1\.\\[10pt]
+
&= 1\,\\[10pt]
\text{Rechte Fläche}
\text{Rechte Fläche}
&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]

Version vom 09:20, 23. Aug. 2009

Wir zeichnen die Kurven.

Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir, dass die Fläche unten von der Geraden y=1 begrenzt ist und oben von den Kurven y=x+2 und y=1x.

Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven x=a, x=b und x=c, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so, dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen x=a und x=b, wo die obere Grenze y=x+2 ist und eine zwischen x=b und x=c wo y=1x die obere Grenze ist.

Die Flächen dieser Gebiete sind

Linke FlächeRechte Fläche=ba(x+21)dx=cbx11dx

und die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.

Wir suchen also die Schnittstellen:

  • x=a: Die Schnittstelle von y=1 und y=x+2 erfüllt beide Gleichungen:
yy=1=x+2. 
Dies ergibt x+2=1, also x=1. Daher ist a=1.


  • x=b: Die Schnittstelle von y=x+2 und y=1x erfüllt beide Gleichungen:
yy=x+2=1x. 
Eliminieren wir y erhalten wir eine Gleichung für x,
x+2=x1
die wir mit x multiplizieren,
x2+2x=1.
Quadratische Ergänzung ergibt:
(x+1)212(x+1)2=1=2
Die Wurzeln sind daher x=12 , und dies ergibt

b=1+2 . (Die Lösung b=12  liegt links von x=a.)


  • x=c: Dies ist die Schnittstelle von y=1 und y=1x, also ist x=1, und daher c=1.


Die Teilflächen sind also

Linke FlächeRechte Fläche=211(x+21)dx=211(x+1)dx= 2x2+x 121=2212+212(1)2+(1)=22222+1+2121+1=2222+1+2121+1=12+21+2121+1=1=121x11dx= lnxx 121=ln11ln2121=01ln21+21=22ln21.

und die gesamte Fläche ist

Fläche=(Linke Fläche)+(Rechte Fläche)=1+22ln21=21ln21.