Lösung 3.3:5c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
| Zeile 12: | Zeile 12: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Gleichungen wie diese | + | Gleichungen wie diese löst man normalerweise mit dem Moivreschen Satz. In diesem Fall entsteht aber das Problem, das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir <math>w=x+iy</math> sein und versuchen <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen. |
Substituieren wir <math>w=x+iy</math>, erhalten wir die Gleichung | Substituieren wir <math>w=x+iy</math>, erhalten wir die Gleichung | ||
| Zeile 130: | Zeile 130: | ||
y &= -\tfrac{1}{2} | y &= -\tfrac{1}{2} | ||
\end{align}\right. | \end{align}\right. | ||
| - | \qquad\text{ | + | \qquad\text{und}\qquad |
\left\{\begin{align} | \left\{\begin{align} | ||
x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] | x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] | ||
| Zeile 138: | Zeile 138: | ||
Daher erhalten wir die Lösungen | Daher erhalten wir die Lösungen | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> | + | {{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> und <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}\,,</math>}} |
oder, in <math>z</math>, | oder, in <math>z</math>, | ||
| Zeile 144: | Zeile 144: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>z=2+i\quad</math> und <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>z=2+i\quad</math> und <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben, | + | Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben, |
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
Version vom 10:01, 23. Aug. 2009
Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung,
 z−21+3i 2−21+3i2−4+3iz−21+3i2−41+23i+49i2−4+3iz−21+3i2−41−23i+49−4+3iz−21+3i2−2+23i=0 =0=0=0 |
Lassen wir
Gleichungen wie diese löst man normalerweise mit dem Moivreschen Satz. In diesem Fall entsteht aber das Problem, das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir
Substituieren wir
wir erweitern die linke Seite
Lassen wir den Real- und Imaginärteil gleich sein, erhalten wir die Gleichungen
   x2−y22xy=2=−23. |
Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung die wir verwenden können, nämlich
Berechnen wir den betrag von beiden Seiten erhalten wir
 22+ −23 2 |
also
Jetzt haben wir drei Gleichungen,
 x2−y22xyx2+y2=2=−23=25. |
Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir
und dies ergibt 
23
| \displaystyle {}={} | \displaystyle \tfrac{5}{2} | ||||
| \displaystyle -\ \ | \displaystyle \bigl(x^2 | \displaystyle {}-{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle 2\rlap{\bigr)} |
| \displaystyle 2y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \tfrac{1}{2} | |||
Und also ist \displaystyle y=\pm\tfrac{1}{2}. Dies ergibt vier mögliche Lösungen.
| \displaystyle \left\{\begin{align}
x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. |
Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung, \displaystyle 2xy=-\tfrac{3}{2}, nämlich
| \displaystyle \left\{\begin{align}
x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. |
Daher erhalten wir die Lösungen
| \displaystyle w=\frac{3-i}{2}\quad und \displaystyle \quad w=\frac{-3+i}{2}\,, |
oder, in \displaystyle z,
| \displaystyle z=2+i\quad und \displaystyle \quad z=-1+2i\,\textrm{.} |
Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben,
\displaystyle \begin{align} z={}\rlap{2+i:}\phantom{-1+2i:}{}\quad z^2-(1+3i)z-4+3i &= (2+i)^2 - (1+3i)(2+i) - 4 + 3i\\[5pt] &= 4+4i+i^2-(2+i+6i+3i^2)-4+3i\\[5pt] &= 4+4i-1-2-7i+3-4+3i\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z=-1+2i:\quad z^2-(1+3i)z-4+3i &= (-1+2i)^2-(1+3i)(-1+2i)-4+3i\\[5pt] &= (-1)^2-4i+4i^2-(-1+2i-3i+6i^2)-4+3i\\[5pt] &= 1-4i-4+1+i+6-4+3i\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}
