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Lösung 3.3:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir bringen <math>z</math> und <math>-1-i</math> auf Polarform
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Wir bringen <math>z</math> und <math>-1-i</math> in Polarform.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
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z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt]
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-1-i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}
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-1-i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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(Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden und trotzdem derselben komplexe Zahl entsprechen.)
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Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden und trotzdem derselben komplexen Zahl entsprechen.
Wir erhalten also
Wir erhalten also
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Wir sehen, dass das Argument <math>\alpha</math>nur 5 verschiedene Werte annimmt
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Wir sehen, dass das Argument <math>\alpha</math> nur 5 verschiedene Werte annimmt
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> und <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> und <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>,}}
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Nachdem sich die Winkel dann wiederholen.
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da sich die Winkel dann wiederholen.
Die Wurzeln sind also
Die Wurzeln sind also

Version vom 11:00, 1. Sep. 2009

Wir bringen z und −1−i in Polarform.

z−1−i=r(cos+isin)=2cos45+isin45 

Mit den Moivreschen Gesetz erhalten wir die Gleichung

r5(cos5+isin5)=2cos45+isin45. 

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten und erhalten

r55=2=45+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).


Die Argumente 5 und 54 können sich mit einen Multipel von 2 unterscheiden und trotzdem derselben komplexen Zahl entsprechen.

Wir erhalten also

r=52=21215=2110=5145+2n=4+52n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).

Wir sehen, dass das Argument nur 5 verschiedene Werte annimmt

4, 4+52, 4+54, 4+56 und 4+58,

da sich die Winkel dann wiederholen.

Die Wurzeln sind also

z=2110cos4+52n+isin4+52n 

für n=0, 1, 2, 3 und 4.

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