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Lösung 3.3:2c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
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- | Wir bringen <math>z</math> und <math>-1-i</math> | + | Wir bringen <math>z</math> und <math>-1-i</math> in Polarform. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
- | z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\ | + | z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt] |
- | -1-i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr) | + | -1-i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr) |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
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- | + | Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden und trotzdem derselben komplexen Zahl entsprechen. | |
Wir erhalten also | Wir erhalten also | ||
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\end{align}\right.</math>}} | \end{align}\right.</math>}} | ||
- | Wir sehen, dass das Argument <math>\alpha</math>nur 5 verschiedene Werte annimmt | + | Wir sehen, dass das Argument <math>\alpha</math> nur 5 verschiedene Werte annimmt |
- | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> und <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> und <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>,}} |
- | + | da sich die Winkel dann wiederholen. | |
Die Wurzeln sind also | Die Wurzeln sind also |
Version vom 11:00, 1. Sep. 2009
Wir bringen
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Mit den Moivreschen Gesetz erhalten wir die Gleichung
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Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten und erhalten
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Die Argumente 4
Wir erhalten also
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Wir sehen, dass das Argument
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da sich die Winkel dann wiederholen.
Die Wurzeln sind also
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für \displaystyle n=0, \displaystyle 1, \displaystyle 2, \displaystyle 3 und \displaystyle 4.