1.1 Einführung zur Differentialrechnung
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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- | * Die Ableitung <math>f^{\,\prime}(a)</math> einer Funktion ist die Steigung von <math>y=f(x)</math> | + | * Die Ableitung <math>f^{\,\prime}(a)</math> einer Funktion ist die Steigung von <math>y=f(x)</math> an der Stelle <math>x=a</math>. |
* Die Ableitung beschreibt eine momentane Veränderung einer Funktion. | * Die Ableitung beschreibt eine momentane Veränderung einer Funktion. | ||
- | * Die Ableitung ist nicht immer definiert (wie bei der Funktion <math>f(x)=\vert x\vert</math> | + | * Die Ableitung ist nicht immer definiert (wie bei der Funktion <math>f(x)=\vert x\vert</math> an der Stelle <math>x=0</math>). |
* Wie man <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> und <math>\tan x</math> sowie Summen und Differenzen davon ableitet. | * Wie man <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> und <math>\tan x</math> sowie Summen und Differenzen davon ableitet. | ||
* Wie man die Tangente oder die Normale einer Funktion bestimmt. | * Wie man die Tangente oder die Normale einer Funktion bestimmt. |
Version vom 08:22, 2. Sep. 2009
Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Die Definition der Ableitung
- Die Ableitungen von
x ,lnx ,ex ,cosx ,sinx undtanx . - Die Ableitungen von Summen und Differenzen.
- Tangenten und Normalen.
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
- Die Ableitung
f einer Funktion ist die Steigung von(a)
y=f(x) an der Stellex=a . - Die Ableitung beschreibt eine momentane Veränderung einer Funktion.
- Die Ableitung ist nicht immer definiert (wie bei der Funktion
f(x)= an der Stellex
x=0 ). - Wie man
x ,lnx ,ex ,cosx ,sinx undtanx sowie Summen und Differenzen davon ableitet. - Wie man die Tangente oder die Normale einer Funktion bestimmt.
- Die Ableitung in
x0 wird mitf oder(x0)
dfdx(x0) bezeichnet.
A - Einführung
Bei der Analyse von Funktionen und deren Graphen will man meist wissen, wie sich eine Funktion verändert, z.B. ob sie steigend oder abnehmend ist und wie steil sie ist.
Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte am Graph, kann man die Sekantensteigung x
y
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Beispiel 1
Die linearen Funktionen
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Graph von f(x) = x hat die Steigung 1. | Graph von g(x) = - 2x hat die Steigung - 2. |
Für eine lineare Funktion ist die Sekantensteigung dasselbe wie die Steigung.
Falls ein Auto mit der Geschwindigkeit 80 km/h unterwegs ist, kommt es nach t Stunden s km. Also kann man die Strecke s(t), die das Auto zurückgelegt hat, als
Beispiel 2
Für die Funktion
- Die Sekantensteigung von
x=1 bisx=2 istx
y=2−1f(2)−f(1)=14−3=1,
- Die Sekantensteigung von
x=2 bisx=4 istx
y=4−2f(4)−f(2)=20−4=−2,
- Zwischen
x=1 undx=4 ist die Sekantensteigungx
y=4−1f(4)−f(1)=30−3=−1.
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Zwischen x = 1 und x = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1. | Zwischen x = 1 und x = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1. |
B - Definition der Ableitung
Um die momentane Steigung in einen Punkt P zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt Q ein und berechnen die Sekantensteigung zwischen P und Q:
Sekantensteigung
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Wenn wir den Punkt Q immer näher dem Punkt P wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt P. Dies nennt man die Ableitung von
Die Ableitung von (x)
Die Ableitung von
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Falls (x0)
Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.
Funktion | Ableitung |
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C - Das Vorzeichen der Ableitung
Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion ab- oder zunehmend ist:
-
f (positive Ableitung) bedeutet, dass(x)
0
f(x) zunehmend ist. -
f (negative Ableitung) bedeutet, dass(x)
0
f(x) abnehmend ist. -
f (Ableitung ist null) bedeutet, dass(x)=0
f(x) waagerecht ist.
Beispiel 3
f(2)=3 bedeutet, dass inx=2 der Wert der Funktion3 ist.f bedeutet, dass in(2)=3
x=2 die Steigung der Funktion3 ist.
Beispiel 4
Aus der Figur sehen wir, dass
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Beachten Sie den Unterschied zwischen (x)
Beispiel 5
Die Temperatur
T(10)=80
Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.T (2)=−3
Zum Zeitpunktt=2 nimmt die Temperatur 3° pro Minute ab.
(Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)
Beispiel 6
Die Funktion x
0)
Man kann auch sagen, dass (0)
D - Ableitungen von Funktionen
Mittels der Definition der Ableitung einer Funktion kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.
Beispiel 7
Wenn
Lassen wir
Auf ähnliche Weise kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:
Funktion | Ableitung |
---|---|
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Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;
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Und, wenn k eine Konstante ist, ist
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Beispiel 8
D(2x3−4x+10−sinx)=2Dx3−4Dx+D10−Dsinx
=2 3x2−4
1+0−cosx
y=3lnx+2ex ergibty .=3
x1+2ex=x3+2ex
ddx .53x2−2x3
=ddx
53x2−21x3
=53
2x−21
3x2=56x−23x2
s(t)=v0t+2at2 ergibts .(t)=v0+22at=v0+at
Beispiel 9
f(x)=x1=x−1 ergibtf .(x)=−1
x−2=−1x2
f(x)=13x2=31x−2 ergibtf .(x)=31
(−2)x−3=−32
x−3=−23x3
g(t)=tt2−2t+1=t−2+t1 ergibtg .(t)=1−1t2
y= x2+x1
2=(x2)2+2x2
x1+
x1
2=x4+2x+x−2
ergibt y .=4x3+2−2x−3=4x3+2−2x3
Beispiel 10
Die Funktion
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Also ist zum Beispiel (2)=2
2−2
23=4−41=415
(−1)=2
(−1)−2
(−1)3=−2+2=0
(0)
Beispiel 11
Ein Gegenstand bewegt sich so wie (3)
Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)
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Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 Stunden.
Beispiel 12
Die Gesamtkosten
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Berechne und erkläre folgende Ausdrücke
T(120)
T(120)=40000+370 .120−0
09
1202=83104
Die Gesamtkosten für die Herstellung von 120 Gegenständen sind 83.104 Euro.T (120)
Die Ableitung istT und daher ist(x)=370−0.18x
T (120)=370−0.18
120
348.
Tangenten und Normalen
Eine Tangente ist eine Gerade, die tangential zur Kurve ist.
Eine Normale ist eine Gerade, die rechtwinklig zur Kurve und daher auch rechtwinklig zur Tangente ist.
Für rechtwinklige Geraden ist das Produkt deren Steigungen immer
Beispiel 13
Bestimme die Tangente der Funktion 2)
Wir schreiben die Gleichung der Tangente (1)
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Nachdem die Tangente durch den Punkt 2)
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Die Tangente ist also
Die Steigung der Normalen ist
Zusätzlich geht die Normale durch den Punkt 2)
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Die Normale ist also
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Tangente | Normale |
Beispiel 14
Die Kurve
Die Ableitung ist mit der Lösung |
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