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3.3:2c alternativ exp

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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(Die Seite wurde neu angelegt: <math>z^{5}=-1-i</math> stelle<math> -1-i</math> exponential dar: <math>-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}</math> wobei r=Betrag und <math>\phi</math>=Argument <...)
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Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:
Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:
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1. <math>n=0</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4})}</math>
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1. <math>n=0</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}} \, e^{i \frac{1}{4} \pi}</math> (falls es schlecht zu lesen ist: 2 hoch <math> \frac{1}{10} </math> mal e hoch <math> i \frac{1}{4} \pi </math>)
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2. <math>n=1</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{13\pi}{20})}</math>
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2. <math>n=1</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{13}{20} \pi}</math>
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3. <math>n=2</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{21\pi}{20})}</math>
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3. <math>n=2</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{21}{20} \pi}</math>
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4. <math>n=3</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{29\pi}{20})}</math>
+
4. <math>n=3</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{29}{20} \pi}</math>
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5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{37\pi}{20})}</math>
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5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>

Version vom 13:11, 7. Sep. 2009

z5=−1−i

stelle−1−i exponential dar:

−1−i=r(cos+isin)=rei wobei r=Betrag und =Argument

r=−1−i=(−1)2+(−1)2=2  Dann:

−1−i=2(2−2−22i) 

Gesucht werden alle Winkeln , für die gilt:

cos=2−2  und sin=2−2 

=4++2n=45+2n mit nZ

Also z5=−1−i=2ei(45+2n) 

z=52ei(45+2n)=22151ei51(45+2n)=2110ei(4+52n) 

Die Gleichung z5=−1−i hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:

1. n=0 : z=2110ei41 (falls es schlecht zu lesen ist: 2 hoch 110 mal e hoch i41)

2. n=1 : z=2110ei2013

3. n=2 : z=2110ei2021

4. n=3 : z=2110ei2029

5. n=4 : z=2110ei2037

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