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3.3:2c alternativ exp

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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<math>z^{5}=-1-i</math>
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Wir stellen <math> -1-i</math> exponential dar:
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stelle<math> -1-i</math> exponential dar:
 
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<math>-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}</math> wobei r=Betrag und <math>\phi</math>=Argument
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}</math>}}
 +
wobei r = Betrag und <math>\phi</math> = Argument sind.
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<math>r=|-1-i|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}</math> Dann:
+
{{Abgesetzte Formel||<math>r=|-1-i|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}</math>}}
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<math>-1-i=\sqrt{2}(\frac{-\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)</math>
+
Dann klammern wir <math> r = \sqrt{2} </math> aus:
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Gesucht werden alle Winkeln <math>\phi</math>, für die gilt:
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-1-i=\sqrt{2}(-\, \frac{\sqrt{2}}{2} -\, \frac{\sqrt{2}}{2}i)</math>}}
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<math>cos\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math> und <math>sin\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math>
+
Gesucht werden alle Winkel <math>\phi</math>, für die gilt:
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<math>\phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi</math> mit <math>n \in </math>'''Z'''
 
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Also <math>z^{5}=-1-i=\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>cos\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math> und <math>sin\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math>}}
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<math>z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)}</math>
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Diese Winkel sind
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{{Abgesetzte Formel||<math>\phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi</math>}}
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mit <math>n \in </math>'''Z'''.
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Also
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^{5}=-1-i=\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}</math>}}
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Wir ziehen die 5. Wurzel, um <math> z </math> aus <math> z^5 </math> zu erhalten:
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)}</math>}}
Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:
Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:
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5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>
5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>
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Die n&auml;chste L&ouml;sung f&uuml;r <math> n=5 </math> ist wegen der 2-<math>\pi</math> Periodizit&auml;t identisch mit der 1. L&ouml;sung mit <math> n=0 </math>.

Version vom 13:28, 7. Sep. 2009

Wir stellen −1−i exponential dar:


−1−i=r(cos+isin)=rei

wobei r = Betrag und = Argument sind.

r=−1−i=(−1)2+(−1)2=2 

Dann klammern wir r=2  aus:

−1−i=2(−22−22i) 

Gesucht werden alle Winkel , für die gilt:


cos=2−2  und sin=2−2 

Diese Winkel sind

=4++2n=45+2n

mit nZ.

Also

z5=−1−i=2ei(45+2n) 

Wir ziehen die 5. Wurzel, um z aus z5 zu erhalten:


z=52ei(45+2n)=22151ei51(45+2n)=2110ei(4+52n) 

Die Gleichung z5=−1−i hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:

1. n=0 : z=2110ei41 (falls es schlecht zu lesen ist: 2 hoch 110 mal e hoch i41)

2. n=1 : z=2110ei2013

3. n=2 : z=2110ei2021

4. n=3 : z=2110ei2029

5. n=4 : z=2110ei2037

Die nächste Lösung für n=5 ist wegen der 2- Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit n=0.

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