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2.2:3b alternativ trig

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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(Die Seite wurde neu angelegt: Nach Kapitel 4 gilt: <math> 2sin(x)cos(x) = sin(2x) </math> . und <math>sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}</math> d.h. <math>cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1</math> Also: <math>\b...)
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Nach Kapitel 4 gilt: <math> 2sin(x)cos(x) = sin(2x) </math> .
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Im 1 Teil des Kurses in Kapitel 4.3-D hatten wir die trigonometrische Formel:
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und <math>sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}</math> d.h. <math>cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math> 2sin(x)cos(x) = sin(2x) </math>}}.
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Also:
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Damit kann man das Integral vereinfachen und ausrechnen:
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
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&= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\
&= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\
&= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\
&= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\
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&= \frac{-1}{4}cos(2x) + C\\
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&= \frac{-1}{4}cos(2x) + C
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&= \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1)+C\\
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&= \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4} +C\\
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&= \frac{1}{2}sin^{2}(x)+C\\
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\end{align}</math>
\end{align}</math>
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Diese L&ouml;sung unterscheidet sich von der zuvor gefundene L&ouml;sung nur durch eine Konstante: wegen
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{{Abgesetzte Formel||<math>sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}</math> d.h. <math>cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1</math>}}
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gilt
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<math>
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\frac{-1}{4}cos(2x)
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\,=\, \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1)
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\,=\, \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4}.
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</math>

Version vom 14:11, 7. Sep. 2009

Im 1 Teil des Kurses in Kapitel 4.3-D hatten wir die trigonometrische Formel:

2sin(x)cos(x)=sin(2x)
.

Damit kann man das Integral vereinfachen und ausrechnen:

sinxcosxdx=21 2sinxcosxdx=21 sin(2x)dx=21(−cos(2x))21+C=4−1cos(2x)+C

Diese Lösung unterscheidet sich von der zuvor gefundene Lösung nur durch eine Konstante: wegen

sin2(x)=21−cos(2x) d.h. cos(2x)=−2sin2(x)+1

gilt

4−1cos(2x)=4−1(−2sin2(x)+1)=21sin2(x)−41

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