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1.1:2a alternativ 1

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Zeile 2: Zeile 2:
<math>f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> wobei <math>f(x)=x^2-3x+1</math>
<math>f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> wobei <math>f(x)=x^2-3x+1</math>
 +
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
f'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{2}-3(x+h)+1-(x^{2}-3x+1)}{h}\\
f'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{2}-3(x+h)+1-(x^{2}-3x+1)}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{x^{2}+2hx+h^{2}-3x-3h+1-x^{2}+3x+1}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{x^{2}+2hx+h^{2}-3x-3h+1-x^{2}+3x+1}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^{2}-3h}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^{2}-3h}{h}\\
-
&=\lim_{h \to 0}\frac{h(2x+h-3)}{h}\\
+
&=\lim_{h \to 0}\frac{h(2x+h-3)}{h}
-
&=\lim_{h \to 0}2x+h-3\\
+
\end{align} </math>
 +
 
 +
Jetzt k&uuml;rzen wir <math> h </math>. Danach benutzen wir, dass der Limes (=Grenzwert) f&uuml;r <math> 2x -3 </math> keine Bedeutung hat, weil dort gar kein <math> h </math> vorkommt.
 +
 
 +
<math>\begin{align}
 +
... &=\lim_{h \to 0}2x+h-3\\
&=2x-3+\lim_{h \to 0}h\\
&=2x-3+\lim_{h \to 0}h\\
&=2x-3\end{align}</math>
&=2x-3\end{align}</math>
-
(2x-3 ist von h und dem Limes unabhängig und <math> \lim_{h \to 0}h =0</math>)
+
Am Ende haben wir benutzt, dass <math> \lim_{h \to 0}h =0</math> ist.

Version vom 14:22, 7. Sep. 2009

Wir benutzen die Definiton der Ableitung im Theorie-Teil dieses Kurses im Abschnitt 1.1 B :

f(x)=limh0hf(x+h)−f(x) wobei f(x)=x2−3x+1

f(x)=limh0h(x+h)2−3(x+h)+1−(x2−3x+1)=limh0hx2+2hx+h2−3x−3h+1−x2+3x+1=limh0h2hx+h2−3h=limh0hh(2x+h−3)

Jetzt kürzen wir h. Danach benutzen wir, dass der Limes (=Grenzwert) für 2x−3 keine Bedeutung hat, weil dort gar kein h vorkommt.

=limh02x+h−3=2x−3+limh0h=2x−3

Am Ende haben wir benutzt, dass limh0h=0 ist.

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