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Lösung 1.3:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
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# Endpunkte.
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# Randstellen.
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Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
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Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extremstellen, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
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Die stationären Punkte erhalten wir mit den Nullstellen der Ableitung.
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Die stationären Stellen erhalten wir mit den Nullstellen der Ableitung.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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Version vom 11:29, 9. Sep. 2009

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit f(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
  3. Randstellen.

Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extremstellen, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

Die stationären Stellen erhalten wir mit den Nullstellen der Ableitung.

f(x)=−4x3+83x2−182x=−4x3+24x2−36x=−4x(x2−6x+9)


Im letzten Schritt sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

x2−6x+9=0.

Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung

(x−3)2−32+9=0

und erhalten

(x−3)2=0

Diese Gleichung hat die Wurzel x=3.

Also hat Ableitung die Nullstellen x=0 und x=3.

Nachdem die Ableitung

f(x)=−4x(x−3)2

ist, machen wir eine Vorzeichentabelle mit den einzelnen Faktoren −4x und (x−3)2.

x 0 3
−4x + 0 − − −
(x−3)2 + + + 0 +

Mit den Rechenregeln ++=+, −+=− und −−=+ für die Vorzeichen, erhalten wir folgende Vorzeichentabelle für die Ableitung:

x 0 3
f(x) + 0 − 0 −
f(x) 0 −27

Hier sehen wir, dass x=0 ein lokales Maximum ist, und dass x=3 ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt).

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