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2.3 Partielle Integration

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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(→Partielle Integration)
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Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn <math>u</math> und <math>v</math> zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung
Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn <math>u</math> und <math>v</math> zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung
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{{Abgesetzte Formel||<math>D\,(\,u\, v) = u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,\mbox{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>D\,(\,u\, v) = \left( D\, u \right) \, v + u \, D \, v </math>}}
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oder in einer anderen Notation (= Schreibweise)
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{{Abgesetzte Formel||<math> \left( \,u \, v \right)^{\, \prime} = u^{\,\prime} \, v + u \, v^{\, \prime} \,\mbox{.}</math>}}
Wenn wir jetzt beide Seiten integrieren, erhalten wir
Wenn wir jetzt beide Seiten integrieren, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>u \, v = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>u \, v = \int (\,u v)^{\,\prime} \,dx = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx</math>}}
und so erhalten wir die Regel für partielle Integration.
und so erhalten wir die Regel für partielle Integration.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx</math>}}
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Sammeln wir alle Terme auf einer Seite, erhalten wir
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Sammeln wir alle Integrale auf der linken Seite, so erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}

Version vom 11:36, 10. Sep. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Partielle Integration.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie die partielle Integration hergeleitet wird.
  • Wie man Integrale durch partielle Integration, kombiniert mit Substitutionen, löst.

Partielle Integration

Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn u und v zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung

D(uv)=Duv+uDv 

oder in einer anderen Notation (= Schreibweise)

uv=uv+uv. 

Wenn wir jetzt beide Seiten integrieren, erhalten wir

uv=(uv)dx=(uv+uv)dx=uvdx+uvdx 

und so erhalten wir die Regel für partielle Integration.

Partielle Integration:

uvdx=uv−uvdx. 

Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral uvdx   einfacher zu berechnen ist als uvdx  . Hier ist v eine beliebige Stammfunktion von v (vorzugsweise die einfachste) und u ist die Ableitung von u.

Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion u sein soll und welche v sein soll. Das folgende Beispiel zeigt, wie man vorgeht.

Beispiel 1

Bestimme das Integral xsinxdx .

Wenn wir u=sinx und v=x wählen, erhalten wir u=cosx und v=x22 und es ergibt sich durch die Formel für partielle Integration

xsinxdx=2x2sinx−2x2cosxdx. 

Dieses Integral ist aber nicht einfacher zu lösen als das ursprüngliche Integral.

Wenn wir aber u=x und v=sinx wählen, wird u=1 und v=−cosx,

xsinxdx=−xcosx−−1cosxdx=−xcosx+sinx+C. 

Beispiel 2

Bestimme das Integral  x2lnxdx .

Wir wählen u=lnx und v=x2, da wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion beseitigen können. Nachdem u=1x und v=x33, erhalten wir

x2lnxdx=3x3lnx−3x3x1dx=3x3lnx−31x2dx=3x3lnx−313x3+C=31x3(lnx−31)+C.

Beispiel 3

Bestimme das Integral  x2exdx .

Wir wählen u=x2 und v=ex, daher ist u=2x und v=ex. Durch partielle Integration erhalten wir

x2exdx=x2ex−2xexdx. 

Wir müssen hier noch einmal partielle Integration anwenden, um das Integral 2xexdx  zu berechnen. Hier wählen wir u=2x und v=ex, daher ist u=2 und v=ex

2xexdx=2xex−2exdx=2xex−2ex+C. 

Das ursprüngliche Integral ist

x2exdx=x2ex−2xex+2ex+C. 

Beispiel 4

Bestimme das Integral  excosxdx .

Wir integrieren den Faktor ex und leiten den Faktor cosx ab,

excosxdx=excosx−ex(−sinx)dx=excosx+exsinxdx.

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration, indem wir den Faktor ex integrieren und den Faktor sinx ableiten.

exsinxdx=exsinx−excosxdx. 

Hier erscheint wieder unser ursprüngliches Integral.

Wir haben also

excosxdx=excosx+exsinx−excosxdx 

Sammeln wir alle Integrale auf der linken Seite, so erhalten wir

excosxdx=21ex(cosx+sinx)+C. 

Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung, mit der wir unser Integral lösen konnten. Dies kommt nicht selten vor, wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.

Beispiel 5

Bestimme das Integral  01ex2xdx .

Das Integral kann als

01ex2xdx=012xe−xdx 

geschrieben werden. Wählen wir u=2x und v=e−x, erhalten wir durch partielle Integration

012xe−xdx=−2xe−x10+012e−xdx=−2xe−x10+−2e−x10=(−2e−1)−0+(−2e−1)−(−2)=−e2−e2+2=2−e4.

Beispiel 6

Bestimme das Integral  lnx dx .

Zuerst machen wir die Substitution u=x , wodurch wir du=dx2x=dx2u  erhalten. Also ist dx=2udu und wir erhalten das Integral

lnxdx=lnu2udu. 

Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor lnu ab und integrieren den Faktor 2u

lnu2udu=u2lnu−u2u1du=u2lnu−udu=u2lnu−2u2+C=xlnx−x2+C=xlnx−21+C.


Hinweis: Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Integrand als lnx=21lnx  zu schreiben und die Produkte 21lnx mit partieller Integration zu integrieren.



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