Processing Math: 80%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

2.2 Integration durch Substitution

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Robot: Automated text replacement (-ü +ü))
Zeile 42: Zeile 42:
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}
-
Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable <math> u </math> durch die Funktion <math> u(x) </math>. Dadurch ver&auml;ndert sich <math> f(u) </math> zu <math> f(u(x)) </math> und <math> du </math> zu <math> d u(x) </math>. Wir wissen aber eigentlich nicht, was <math> du(x) </math> ist. In der n&auml;chsten Zeile tun wir so, als w&auml;re <math> \frac{dx}{dx} =1 </math> wie bei "normalen" Br&uuml;chen.
+
Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable <math> u </math> durch die Funktion <math> u(x) </math>. Dadurch ver&auml;ndert sich <math> f(u) </math> zu <math> f(u(x)) </math> und <math> du </math> zu <math> d u(x) </math>. Wir wissen aber eigentlich nicht, was <math> du(x) </math> ist. In der n&auml;chsten Zeile tun wir so, als w&auml;re <math> \frac{dx}{dx} =1 </math> wie bei "normalen" Brüchen.
{{Abgesetzte Formel||<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}}
Zeile 103: Zeile 103:
Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math> du= e^x\,dx = u \, dx </math> bzw <math> dx = \frac{1}{u} \, du </math>.
Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math> du= e^x\,dx = u \, dx </math> bzw <math> dx = \frac{1}{u} \, du </math>.
-
Wir ermitteln eine Stammfunktion f&uuml;r die Integration mit der Integrationsvariable <math> u </math>
+
Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable <math> u </math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln |1+u| </math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln |1+u| </math>}}

Version vom 10:32, 16. Sep. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Integration durch Substitution

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie die Formel für die Integration durch Substitution hergeleitet wird.
  • Wie man Integrale mit Integration durch Substitution löst.
  • Wie man die Integrationsgrenzen bei der Substitution richtig ändert.
  • Wann Integration durch Substitution möglich ist.

A - Integration durch Substitution

Wenn man eine Funktion nicht direkt integrieren kann, kann man die Funktion manchmal durch eine Substitution integrieren. Die Formel für die Integration durch Substitution ist einfach die Kettenregel für Ableitungen rückwärts.

Die Kettenregel  ddxf(u(x))=f(u(x))u(x)  kann in Integralform geschrieben werden:

f(u(x))u(x)dx=f(u(x))+C 

oder

f(u(x))u(x)dx=F(u(x))+C, 

wobei F eine Stammfunktion von f ist, d.h. es gilt F=f.

Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand f hat die Stammfunktion F und u ist die Integrationsvariable

f(u)du=F(u)+C. 

Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable u durch die Funktion u(x). Dadurch verändert sich f(u) zu f(u(x)) und du zu du(x). Wir wissen aber eigentlich nicht, was du(x) ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre dxdx=1 wie bei "normalen" Brüchen.

du(x)=dxdxdu(x)=1dxdu(x)dx=ddxu(x)dx=u(x)dx

Also ist das unbekannt du(x) dasselbe wie das bekannte u(x)dx: Beim Integrieren mit der Integrationsvariable x wird der Integrand mit u(x) multipliziert. Also haben wir

f(u)du=F(u)+C mit u(x) statt u ergibt f(u(x))u(x)dx=F(u(x))+C. 

Daher kann man den komplizierteren Integranden f(u(x))u(x) ersetzen (mit x als Integrationsvariable) mit dem einfacheren Ausdruck f(u) (mit u als Integrationsvariable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form f(u(x))u(x) ist.

Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass u(x) im Intervall (ab) differenzierbar ist.


Beispiel 1

Berechne das Integral  2xex2dx .

Wenn wir die Substitution u(x)=x2 machen, erhalten wir u(x)=2x. Durch die Substitution wird ex2, eu und u(x)dx, also 2xdx wird du

2xex2dx=ex22xdx=eudu=eu+C=ex2+C. 

Beispiel 2

Bestimme das Integral  (x3+1)3x2dx .

Wir substituieren, u=x3+1.Dies ergibt u=3x2, oder du=3x2dx, und daher ist

(x3+1)3x2dx=3(x3+1)33x2dx=3u3du=u412+C=112(x3+1)4+C.

Beispiel 3

Bestimme das Integral  tanxdx,    wo −2x2.

Wir schreiben tanx wie sinxcosx und machen die Substitution u=cosx,

tanxdx=sinxcosxdx=uudu=cosx=−sinx=−sinxdx=−u1du=−lnu+C=−lncosx+C.

B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution

Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder substituiert man u=u(x), berechnet eine Stammfunktion in u und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.

Beispiel 4 Berechne das Integral  02ex1+exdx .


Methode 1

Wir substituieren u=ex , und dies ergibt u=ex und du=exdx=udx bzw dx=u1du.

Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable u

ex1+exdx=u1+uu1du=11+udu=ln1+u 

Jetzt schreiben wir wieder u(x) statt u und setzen die Integrationsgrenzen ein.

ln1+u(x)x=2x=0=ln(1+ex)20=ln(1+e2)−ln2=ln21+e2 


Methode 2

Wir substituieren u=ex und dies ergibt u=ex und du=exdx. Die Integrationsgrenzen verändern sich durch die Substitution: Wenn x von 0 bis 2 läuft, läuft \displaystyle u=u(x) von \displaystyle u(0) = e^0=1 bis \displaystyle u(2)=e^2.

\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}

Beispiel 5

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx.

Durch die Substitution \displaystyle u=\sin x erhalten wir \displaystyle du=\cos x\,dx und die Integrationsgrenzen sind daher \displaystyle u=\sin 0=0 und \displaystyle u=\sin(\pi/2)=1. Das Integral ist daher

\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}


[Image]

Das linke Bild zeigt die Funktion sin³x cos x und die rechte Figur zeigt die Funktion u³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall. Der Wert des Integrals ändert sich aber nicht.

Beispiel 6

Betrachte folgende Rechnungen, bei denen sich ein Fehler eingeschlichen hat. Findest du den Fehler selbst?

\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}

Diese Rechnung ist falsch, da \displaystyle f(u)=1/u^2 nicht im ganzen Intervall \displaystyle [-1,1] definiert ist (nicht wenn \displaystyle x=0).

Es ist notwendig, dass die Funktion \displaystyle f(u(x)) überall im Intervall definiert und kontinuierlich ist. Ansonsten wird die Substitution \displaystyle u=u(x) nicht gültig sein.

[Image]

Graph von f(u) = 1/u²



Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .

Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/2.2_Integration_durch_Substitution“