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Lösung 1.3:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir nennen die x-Koordinate des Punktes P x. Die y-Koordinate ist dann 1−x2, da P auf der Kurve y=1−x2 liegt.

Die Fläche des Rechtecks ist

A(x)=(Basis)(Höhe)=x(1−x2)

Wir wollen diese Fläche maximieren.

Wir sehen, dass P im ersten Quadranten liegen muss. x0, also y=1−x20. Wir wissen nun, dass x1 ist. Also suchen wir das Maximum von A(x) im Bereich 0x1.


Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:

  1. stationäre Punkte mit f(x)=0,
  2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Die Funktion A(x)=x(1−x2) ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Endpunkte A(0)=A(1)=0 können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima).

Die Ableitung der Funktion ist

A(x)=1(1−x2)+x(−2x)=1−3x2

und wir erhalten die Gleichung \displaystyle x=\pm 1/\!\sqrt{3} für die stationären Punkte.
Nur die Lösung \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} erfüllt aber \displaystyle 0\le x\le 1.

Die zweite Ableitung \displaystyle A''(x)=-6x hat im stationären Punkt den Wert

\displaystyle A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,

also ist \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} ein lokales Maximum.

Also ist der optimale Punkt \displaystyle P

\displaystyle P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}
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