2.2 Integration durch Substitution

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Integration durch Substitution

Wenn man eine Funktion nicht direkt integrieren kann, kann man die Funktion manchmal durch eine Substitution integrieren. Die Formel für die Integration durch Substitution ist einfach die Kettenregel für Ableitungen rückwärts.

Die Kettenregel  ddxf(u(x))=f(u(x))u(x)  kann in Integralform geschrieben werden:

f(u(x))u(x)dx=f(u(x))+C

oder

f(u(x))u(x)dx=F(u(x))+C,

wobei F eine Stammfunktion von f ist, d.h. es gilt F=f.

Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand f hat die Stammfunktion F und u ist die Integrationsvariable

f(u)du=F(u)+C.

Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable u durch die Funktion u(x). Dadurch verändert sich f(u) zu f(u(x)) und du zu du(x). Wir wissen aber eigentlich nicht, was du(x) ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre dxdx=1 wie bei "normalen" Brüchen.

du(x)=dxdxdu(x)=1dxdu(x)dx=ddxu(x)dx=u(x)dx

Also ist das unbekannt du(x) dasselbe wie das bekannte u(x)dx: Beim Integrieren mit der Integrationsvariable x wird der Integrand mit u(x) multipliziert. Also haben wir

f(u)du=F(u)+C mit u(x) statt u ergibt f(u(x))u(x)dx=F(u(x))+C.

Daher kann man den komplizierteren Integranden f(u(x))u(x) ersetzen (mit x als Integrationsvariable) mit dem einfacheren Ausdruck f(u) (mit u als Integrationsvariable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form f(u(x))u(x) ist.

Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass u(x) im Intervall (ab) differenzierbar ist.

Beispiel 1

Berechne das Integral  2xex2dx .

Wenn wir die Substitution u(x)=x2 machen, erhalten wir u(x)=2x. Durch die Substitution wird ex2, eu und u(x)dx, also 2xdx wird du

2xex2dx=ex22xdx=eudu=eu+C=ex2+C.

Beispiel 2

Bestimme das Integral  (x3+1)3x2dx .

Wir substituieren, u=x3+1.Dies ergibt u=3x2, oder du=3x2dx, und daher ist

(x3+1)3x2dx=3(x3+1)33x2dx=3u3du=u412+C=112(x3+1)4+C.

Beispiel 3

Bestimme das Integral  tanxdx,    wo −2x2.

Wir schreiben tanx wie sinxcosx und machen die Substitution u=cosx,

tanxdx=sinxcosxdx=uudu=cosx=−sinx=−sinxdx=−u1du=−lnu+C=−lncosx+C.

B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution

Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder substituiert man u=u(x), berechnet eine Stammfunktion in u und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.

Beispiel 4 Berechne das Integral  02ex1+exdx .

Methode 1

Wir substituieren u=ex , und dies ergibt u=ex und du=exdx=udx bzw dx=u1du.

Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable u

ex1+exdx=u1+uu1du=11+udu=ln1+u

Jetzt schreiben wir wieder u(x) statt u und setzen die Integrationsgrenzen ein.

ln1+u(x)x=2x=0=ln(1+ex)20=ln(1+e2)−ln2=ln21+e2

Methode 2

Wir substituieren u=ex und dies ergibt u=ex und du=exdx. Die Integrationsgrenzen verändern sich durch die Substitution: Wenn x von 0 bis 2 läuft, läuft u=u(x) von u(0)=e0=1 bis u(2)=e2.

02ex1+exdx=1e211+udu=ln1+u1e2=ln(1+e2)−ln2=ln21+e2.

Beispiel 5

Bestimme das Integral  02sin3xcosxdx .

Durch die Substitution u=sinx erhalten wir du=cosxdx und die Integrationsgrenzen sind daher u=sin0=0 und u=sin(2)=1. Das Integral ist daher

02sin3xcosxdx=01u3du=41u410=41−0=41.

Das linke Bild zeigt die Funktion sin³x cos x und die rechte Figur zeigt die Funktion u³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall. Der Wert des Integrals ändert sich aber nicht.

Beispiel 6

Betrachte folgende Rechnungen, bei denen sich ein Fehler eingeschlichen hat.

2−2cosxsin2xdx=u=sinxdu=cosxdxu(−2)=−1u(2)=1=1−11u2du=−u11−1=−1−1=−2.

Die Rechnung muss falsch sein, weil links ein Integral steht mit einem positiven Integrand. Das Integral wird also positiv sein. Auf der rechten Seite steht jedoch eine negative Zahl. Der Fehler bei der Rechnung ist, dass die Substitution angewendet wurde für f(u)=1u2 und diese Funktion nicht im ganzen Intervall [−11] definiert ist (f(0) ist nicht definiert: Division durch Null). Wenn man die Substitutionsregel anwenden möchte, muss die äussere Funktion f stetig sein und die innere Funktion u stetig differenzierbar.

Graph von f(u) = 1/u²

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