Processing Math: 98%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

1.2 Ableitungsregeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wechseln zu: Navigation, Suche
 

Vorlage:Mall:Vald flik Vorlage:Mall:Ej vald flik

 

Innehåll:

  • Derivata av en produkt och kvot
  • Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln)
  • Högre ordningars derivata

Färdigheter:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • I princip kunna derivera vilken elementär funktion som helst.

Derivering av produkt och kvot

Med hjälp av derivatans definition kan man också härleda deriveringsregler för produkter och kvoter av funktionsuttryck:

Deriveringsregler för produkter och kvoter:

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

(Observera att derivering av produkter och kvoter inte är så enkelt som derivering av summor och differenser, där man kan derivera funktionsuttrycken termvis, dvs. var för sig!)

Exempel 1

  1. D(x2ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex.
  2. D(xsinx)=1sinx+xcosx=sinx+xcosx.
  3. D(xlnx−x)=1lnx+xx1−1=lnx+1−1=lnx.
  4. Dtanx=Dsinxcosx=(cosx)2cosxcosx−sinx(−sinx)
    =cos2xcos2x+sin2x=1cos2x.
  5. Dx1+x=(x)21x−(1+x)12x=x2x2x−12x−x2x
    =x2xx−1=x−12xx.
  6. Dxex1+x=(1+x)2(1ex+xex)(1+x)−xex1
    =(1+x)2ex+xex+xex+x2ex−xex=(1+x)2(1+x+x2)ex.


Derivering av sammansatta funktioner

En funktion y=f(g) där variabeln g i sin tur är beroende av en variabel x får formen y=fg(x)  och kallas sammansatt funktion. Om man deriverar en sammansatt funktion med avseende på den oberoende variabeln x, använder man följande regel:

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Denna regel brukar kallas kedjeregeln och kan beroende på val av symboler skrivas på olika sätt. Om vi i ovanstående t.ex. sätter y=f(u) och u=g(x) kan kedjeregeln skrivas

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Man brukar säga att den sammansatta funktionen y består av den yttre funktionen f och den inre funktionen g. Analogt kallas f för den yttre derivatan och g den inre derivatan.


Exempel 2

För funktionen y=(x2+2x)4 är

y=u4 yttre funktionen, och u=x2+2x inre funktionen,
dudy=4u3 yttre derivata, och dxdu=2x+2 inre derivata.

Derivatan av funktionen y med avseende på x blir enligt kedjeregeln

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

När man vant sig vid kedjeregeln inför man sällan nya beteckningar för yttre och inre funktion, utan man lär sig känna igen dessa och deriverar ”rakt på”, enligt mönstret

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Kom ihåg att även använda produkt- eller kvotregeln när detta är nödvändigt.

Exempel 3

  1. f(x)=sin(3x2+1)

    Yttre derivatan:Inre derivatan:cos(3x2+1)6x

    f(x)=cos(3x2+1)6x=6xcos(3x2+1)
  2. y=5ex2

    Yttre derivatan:Inre derivatan:5ex22x

    y=5ex22x=10xex2
  3. f(x)=exsinx

    Yttre derivatan:Inre derivatan:exsinx1sinx+xcosx

    f(x)=exsinx(sinx+xcosx)
  4. s(t)=t2cos(lnt)

    s(t)=2tcos(lnt)+t2−sin(lnt)t1=2tcos(lnt)−tsin(lnt) 
  5. Dax=Delnax=Delnax=elnaxlna=axlna 
  6. Dxa=Delnxa=Dealnx=ealnxax1=xaax−1=axa−1 

Kedjeregeln kan även användas upprepade gånger på en funktion som är sammansatt i flera steg. Exempelvis funktionen y=fg(h(x))  har derivatan

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel


Exempel 4

  1. Dsin32x=D(sin2x)3=3(sin2x)2Dsin2x=3(sin2x)2cos2xD(2x)
    =3sin22xcos2x2=6sin22xcos2x
  2. Dsin(x2−3x)4=cos(x2−3x)4D(x2−3x)4 
    =cos(x2−3x)44(x2−3x)3D(x2−3x) 
    =cos(x2−3x)44(x2−3x)3(2x−3) 
  3. Dsin4(x2−3x)=Dsin(x2−3x)4 
    =4sin3(x2−3x)Dsin(x2−3x)
    =4sin3(x2−3x)cos(x2−3x)D(x2−3x)
    =4sin3(x2−3x)cos(x2−3x)(2x−3)
  4. Dex3−1=ex3−1Dx3−1=ex3−112x3−1D(x3−1) 
    =ex3−112x3−13x2=2x3−13x2ex3−1


Derivator av högre ordningar

Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv.

Andraderivatan brukar betecknas f (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc., betecknas f(3), f(4) osv.

Även beteckningarna D2f, D3f, ..., och dx2d2y, dx3d3y, ... är vanliga.

Exempel 5

  1. f(x)=3ex2−1
    f(x)=3ex2−1D(x2−1)=3ex2−12x=6xex2−1
    f(x)=6ex2−1+6xex2−12x=6ex2−1(1+2x2)
  2. y=sinxcosx
    dxdy=cosxcosx+sinx(−sinx)=cos2x−sin2x
    dx2d2y=2cosx(−sinx)−2sinxcosx=−4sinxcosx
  3. D(exsinx)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)
    D2(exsinx)=Dex(sinx+cosx)  =ex(sinx+cosx)+ex(cosx−sinx)=2excosx
    D3(exsinx)=D(2excosx) \displaystyle \phantom{D^3 ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/1.2_Ableitungsregeln“