Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

1.1 Einführung zur Differentialrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 12:05, 26. Mär. 2008 von Tek (Diskussion | Beiträge)
(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Innehåll:

  • Derivatans definition (översiktligt).
  • Derivatan av x, lnx, ex, cosx, sinx och tanx.
  • Derivata av summa och differens.
  • Tangent och normal till kurvor.

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Förstå derivatan f(a) som lutningen av kurvan y=f(x) i punkten x=a.
  • Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, osv.).
  • Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. f(x)=x i x=0).
  • Kunna derivera x, lnx, ex, cosx, sinx och tanx samt summor/differenser av sådana termer.
  • Kunna bestämma tangent och normal till y=f(x).
  • Veta att derivatan kan betecknas med f(x) och dfdx(x).

Inledning

När man studerar matematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.

Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde (y) ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet (x). Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Exempel 1

De linjära funktionerna f(x)=x respektive g(x)=−2x förändras på samma sätt hela tiden. Deras förändringsgrad är 1 resp. −2, vilket vi känner till som linjernas respektive riktningskoefficient.

1.1 - Figur - Grafen till f(x) = x 1.1 - Figur - Grafen till f(x) = -2x
Grafen till f(x) = x har riktningskoefficient 1. Grafen till g(x) = - 2x har riktningskoefficient - 2.

För en linjär funktion gäller alltså att funktionens förändringsgrad är samma som linjens riktningskoefficient.

Om man har en funktion där funktionsvärdet förändras med tiden är det naturligt att använda begreppet förändringshastighet, eftersom förändringsgraden här anger hur funktionsvärdet ändras per tidsenhet.

Om en bil rör sig med hastigheten 80 km/h så kan den tillryggalagda sträckan, s km, efter t timmar beskrivas med funktionen s(t)=80t. Funktionens förändringsgrad anger hur funktionsvärdet ändras per timme, vilket naturligtvis är detsamma som bilens hastighet, 80 km/h.

För icke-linjära funktioner gäller ju att lutningen på funktionskurvan ändras hela tiden och därmed också funktionens förändringsgrad. För att bestämma hur en sådan funktion förändras kan vi antingen ange funktionens genomsnittliga förändring (medelförändringen) mellan två punkter på funktionskurvan, eller den momentana förändringsgraden i en punkt på kurvan.

Exempel 2

För funktionen f(x)=4x−x2 är f(1)=3, f(2)=4 och f(4)=0.

  1. Medelförändringen (medellutningen) från x=1 till x=2 är
    1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
    och funktionen ökar i detta intervall.

  2. Medelförändringen från x=2 till x=4 är
    1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
    och funktionen avtar i detta intervall.

  3. Mellan x=1 och x=4 är medelförändringen
    1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
    I genomsnitt är funktionen avtagande i detta intervall, även om funktionen både växer och avtar i intervallet.

1.1 - Figur - Medelförändring för f(x) = x(4 - x) mellan x = 1 och x = 2 1.1 - Figur - Medelförändring för f(x) = x(4 - x) mellan x = 1 och x = 4
Mellan x = 1 och x = 2 har funktionen medelförändringen 1/1 = 1. Mellan x = 1 och x = 4 har funktionen medelförändringen (-3)/3 = -1.


Derivatans definition

För att beräkna den momentana förändringsgraden hos en funktion, dvs. funktionskurvans lutning i en punkt P, tar vi temporärt hjälp av ytterligare en punkt Q i närheten av P och bildar ändringskvoten mellan P och Q:

1.1 - Figur - Differenskvot mellan P och Q

Ändringskvoten

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel


Om vi låter Q närma sig P (dvs. låter h0) så kan vi lista ut vad värdet blir om punkterna sammanfaller och därmed få fram lutningen i punkten P. Vi kallar detta värde för derivatan av f(x) i punkten P, vilket kan tolkas som den momentana förändringsgraden av f(x) i punkten P.

Derivatan av en funktion f(x) betecknas f(x) och kan formellt definieras så här:

Derivatan av en funktion f(x), definieras som

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Om f(x0) existerar, säger man att f(x) är deriverbar i punkten x=x0.

Olika symboler för derivatan förekommer, t.ex.


Funktion Derivata
f(x) f(x)
y y
y Dy
y dxdy
s(t) s(t)


Derivatans tecken

Derivatans tecken (+/−) visar oss om funktionens graf lutar uppåt eller nedåt, dvs. om funktionen är växande eller avtagande:

  • f(x)0 (positiv lutning) medför att f(x) är växande.
  • f(x)0 (negativ lutning) medför att f(x) är avtagande.
  • f(x)=0 (ingen lutning) medför att f(x) är stationär (horisontell).


Exempel 3

  1. f(2)=3  betyder att funktionens värde är 3 när x=2.
  2. f(2)=3  betyder att derivatans värde är 3 när x=2, vilket i sin tur betyder att funktionens graf har lutningen 3 när x=2.

Exempel 4

I figuren kan man utläsa att

f(a)f(b)f(c)f(d)f(e)f(e)f(g)0=0=0=0=000

1.1 - Figur - Grafen y = f(x) med punkter x = a, b, c, d, e och g

Notera betydelsen av f(x) respektive f(x).

Exempel 5

Temperaturen i en termos beskrivs av en funktion, där T(t) är temperaturen i termosen efter t minuter. Skriv följande med matematiska symboler:

  1. Efter 10 minuter är temperaturen 80°.

    T(10)=80

  2. Efter 2 minuter sjunker temperaturen i termosen med 3° per minut.

    T(2)=−3 (funktionen är avtagande, varför derivatan är negativ)

Exempel 6

Funktionen f(x)=x saknar derivata då x=0. Man kan nämligen inte bestämma hur funktionens graf lutar i punkten (00) (se figuren nedan).

Man kan uttrycka detta på exempelvis något av följande sätt: "f(0) existerar inte" , "f(0) är ej definerad" eller "f(x) är inte deriverbar i x=0".

1.1 - Figur - Grafen till f(x) =


Deriveringsregler

Med hjälp av derivatans definition kan man bestämma derivatan för de vanliga funktionstyperna.

Exempel 7

Om f(x)=x2 så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Om vi sedan låter h gå mot noll så ser vi att lutningen i punkten blir 2x. Vi har därmed visat att lutningen i en godtycklig punkt på kurvan y=x2 är 2x, dvs. derivatan av x2 är 2x.

På liknande sätt kan man härleda allmänna deriveringsregler:

Funktion Derivata
xn nxn−1
lnx 1x
ex ex
sinx cosx
cosx −sinx
tanx 1cos2x


Dessutom gäller för summor och differenser av funktionsuttryck att

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Samt, om k är en konstant, att

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel


Exempel 8

  1. D(2x3−4x+10−sinx)=2Dx3−4Dx+D10−Dsinx
    =23x2−41+0−cosx
  2. y=3lnx+2ex ger att y=3x1+2ex=x3+2ex.
  3. ddx53x2−2x3=ddx53x2−21x3=532x−213x2=56x−23x2 .
  4. s(t)=v0t+2at2 ger att s(t)=v0+22at=v0+at.

Exempel 9

  1. f(x)=x1=x−1 ger att f(x)=−1x−2=−1x2.
  2. f(x)=13x2=31x−2 ger att f(x)=31(−2)x−3=−32x−3=−23x3.
  3. g(t)=tt2−2t+1=t−2+t1 ger att g(t)=1−1t2.
  4. y=x2+x12=(x2)2+2x2x1+x12=x4+2x+x−2 
    ger att y=4x3+2−2x−3=4x3+2−2x3.

Exempel 10

Funktionen f(x)=x2+x−2 har derivatan

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Detta betyder exempelvis att f(2)=22−223=4−41=415 och att f(−1)=2(−1)−2(−1)3=−2+2=0. Däremot är derivatan f(0) inte definierad.

Exempel 11

Ett föremål rör sig enligt s(t)=t3−4t2+5t, där s(t) km är avståndet från startpunkten efter t timmar. Beräkna s(3) och förklara vad värdet står för.

Tidsderivatan ges av

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Detta kan tolkas som att efter 3 timmar är föremålets hastighet 8 km/h.

Exempel 12

Totalkostnaden T kr för tillverkning av x gummidräkter ges av funktionen

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Beräkna och förklara innebörden av nedanstående uttryck.

  1. T(120)

    T(120)=40000+370120−0091202=83104.
    Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr.
  2. T(120)

    Derivatan ges av T(x)=370−018x och därför är
    1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
    Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är approximativt 348 kr.


Tangenter och normaler

En tangent till en kurva är en rät linje som tangerar kurvan.

En normal till en kurva är en rät linje som är vinkelrät mot kurvan i en viss punkt på kurvan (och därmed också vinkelrät mot kurvans tangent i denna punkt).

För vinkelräta linjer gäller att produkten av deras riktningskoefficienter är –1, dvs. om tangentens riktningskoefficient betecknas kT och normalens kN så är kTkN=−1. Eftersom vi kan bestämma lutningen på en kurva med hjälp av derivatan så kan vi också bestämma ekvationen för en tangent eller en normal om vi känner till funktionsuttrycket för kurvan.


Exempel 13

Bestäm ekvationen för tangenten respektive normalen till kurvan y=x2+1 i punkten (12).

Vi skriver tangentens ekvation som y=kx+m. Eftersom den ska tangera kurvan i x=1 har vi att dess lutning ges av k=y(1), dvs.

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Tangentlinjen ska också passerar genom punkten (12) och därför måste (12) uppfylla tangentens ekvation

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Tangentens ekvation är alltså y=2x.


Riktningskoefficienten för normalen är kN=−1kT=−21 .

Vidare går normalen också genom punkten (12) , dvs.

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Normalen har ekvationen y=−x2+25=25−x.

1.1 - Figur - Tangentlinjen y = 2x 1.1 - Figur - Normallinjen y = (5 - x)/2
Tangentlinjen y=2x  Normallinjen y=(5−x)2 

Exempel 14

Kurvan y=2ex−3x har en tangent vars riktningskoefficient är –1. Bestäm tangeringspunkten.

Derivatan av högerledet är y=2ex−3 och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med −1, dvs. y=−1, och detta ger oss ekvationen

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

som har lösningen x=0. I punkten x=0 har kurvan y-värdet y(0)=2e0−30=2 och därmed är tangeringspunkten (02).

1.1 - Figur - Kurvan y = 2e^x - 3x och tangentlinjen genom (0,2)
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/1.1_Einf%C3%BChrung_zur_Differentialrechnung“